5固体物理-能带理论1

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1、固体物理学能带理论1固体系统的哈密顿量考虑如下系统，有N个带正电荷Ze的原子核（离子实），相应有NZ个电子（价电子）；原子核和电子的位臵矢量分别用Rn和ri表示；整个体系的哈密顿量：HˆTˆVR,RTˆV(r,r)V(R,r)nnmnmeeeijneniN22211Zenn12M2n,m40RnRmNZ22NNZ2211e1Zeii12m2i,j40rirjn1i140RnriBorn-Oppenheimer近似考虑到原子核（离子实）和电子在质量上的巨大差别（数千倍），原子核运动速度

2、比电子慢很多；因而可以认为在原子核运动的每一个瞬间，电子的运动快到足以实时调整其状态；当我们只关注电子体系的状态时，可以认为原子核是固定在其瞬时的位臵上。电子体系的哈密顿量HˆTˆV(r,r)V(R,r)eeeeijneniNZ22NZN2211e1Zeii12m2i,j40rirji1n140riRn单电子近似电子体系的哈密顿量中的电子-电子相互作用项（意味着电子相互关联），在计算中难以处理；考虑一个电子，将其它所有电子对它的作用用一个平均场来代替；2NZNZ211e11eVee(ri,rj)2i,j4

3、0rirj2i1j1ji40rirjNZ1NZ1e2NZverii12j1ji40rirji1NZ211everi2j1ji40rirj单电子近似电子体系的哈密顿量HˆTˆV(r,r)V(R,r)eeeeijneniNZ2NZNZN221Zeiverii12mi1i1n140riRnNZ2Z1Ze2NZ2vrHˆieiii12mn140riRni1整个电子体系的哈密顿量

4、写成了各个电子哈密顿量总和；对应的整个电子体系的薛定谔方程可以分离变量成单电子薛定谔方程。Hˆiii周期场近似单电子哈密顿量2Z2ˆ21ZeHiiveri（令Z=1）2mn140riRn22221e2iveriiVri2m4rR2mRn0in21e单电子势Vrvriei4rRRn0in不管单电子势具体形式如何，假设它具有与晶格相同的平移对称性；VriRnVriBloch定理单电子薛定谔方程22Vrrr2m

5、其中单电子势V(r)是周期性势场，V(r+Rn)=V(r)Bloch定理：上述薛定谔方程的本征函数解具有如下性质ikRnrRern上式表明当平移晶格矢量Rn时，本征波函数只变化一个相位因子eikRn上述波函数称为Bloch波函数，用Bloch波函数描述的电子称为Bloch电子；Bloch定理的证明势场的周期性反映了晶格的平移对称性，即晶格平移任意矢量时，势场保持不变；Rnananan112233引入描述平移对称操作的平移算符，T(分量T1,T2,T3)对于任意晶格矢量Rnanana，对应平移算符n112233为

6、nnnˆˆ1ˆ2ˆ3TRT1a1T2a2T3a3n平移算符Tα性质Tfrfra,1,2,3TVrVraVrBloch定理的证明各平移算符之间相互对易TˆTˆfrTˆfrafraaTˆTˆfrTˆfrafraaTˆTˆfrTˆTˆfrTˆTˆTˆTˆTˆ,Tˆ0平移算符和单电子哈密顿量对易2ˆˆ2THfrVrafr

7、ara2m22VrfraHˆfraHˆTˆfr2mTˆHˆHˆTˆHˆ,Tˆ0Bloch定理的证明根据量子力学，相互对易的算符具有共同的本征函数；如φ(r)是哈密顿量H和平移算符Tα的共同本征函数ˆHrrnnnˆˆ1ˆ2ˆ3TRT1a1T2a2T3a3Tˆ