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《第10讲常微分方程_二_09(谭老师)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2009水木艾迪考研辅导基础班清华东门外同方广场B座609电话：62701055第10讲常微分方程(二)线性方程解的结构;高阶线性常系数齐次方程的解;高阶线性常系数非齐次方程的解;Euler方程;差分方程介绍;综合例题10.1高阶线性方程及其解的结构10.1.1高阶线性方程及其特点òn阶线性微分方程的一般形式nn−1dxdxdx++at()....++at()atxft()=()nn11−1nn−dtdtdt其中ati()(1,2,,)=?n以及f()t都是区间I上的已知连续函数.当if()t≡0时,上述方程称为齐次方程:nn−1dxdxdx++at().
2、...++at()atx()=0nn11−1nn−dtdtdtò对于n阶线性微分方程解的存在唯一性定理:定理10.1:设方程nn−1dxdxdx++at()....++at()atxft()=()nn11−1nn−dtdtdt中的系数ati()(1,2,,)=?n以及非齐次项f()t都是区间I上的i连续函数,t0∈I，则对于任意一组实数ξ01,,..,,ξξn−1方程满初值条件:(1n−)xt()==ξ,()xt′ξξ,...,x()t=00010n−1的解在区间I上存在,唯一.例10.1判断下列方程中哪些是线性方程,(i)y′′+xy′+2y=sinx;
3、(ii)y′′+xy′+2y=siny22(iii)y′′+xy′=1−xy;(iv)y′′+xy′=1−xy清华大学谭泽光12009水木艾迪考研辅导基础班清华东门外同方广场B座609电话：6270105510.1.2线性方程解的结构(1)函数的线性相关性：定义10.1：若存在n个不全为零的常数c,i=1,?,n，使得in∀x∈()a,b,∑cixi(t)=0.在()a,b上n个函数xi(t),i=1,?,n线i=1性相关;否则称x()t,i=1,?,n为线性无关.iλ12ttλλnt例如:设λ12,λ,...,λm∈R互不相等,则函数ee,,,?e在任意
4、区间I上线性无关.(2)线性方程解的结构定理10.2若x12(),()txt都是方程nn−1dxdxdx++at()....++at()atx()=0nn11−1nn−dtdtdt的解,则对任意常数cc12,,函数c11x()t+c22x()t也是该方程的解.证明：只要利用微分方程的线性性即可。nn−1dxdxdx定理10.3方程++at()....++at()atx()=0的所nn11−1nn−dtdtdt有解构成一个n维线性空间,其中任意n个线性无关的解，x()t,i=1,?,n,构成该空间的一组基。i定理10.4非齐次方程nn−1dxdxdx++at
5、()....++at()atxft()=()nn11−1nn−dtdtdt任意两个解之差是齐次方程nn−1dxdxdx++at()....++at()atx()=0nn11−1nn−dtdtdt的解;因此，如果已知方程nn−1dxdxdx++at()....++at()atxft()=()有一个特解X(t),nn11−1nn−dtdtdt那么它的每个解都可以表示为x(t)=X(t)+x(t),其中x(t)是齐次清华大学谭泽光22009水木艾迪考研辅导基础班清华东门外同方广场B座609电话：62701055nn−1dxdxdx方程++at()....++at
6、()atx()=0的一般解.nn11−1nn−dtdtdt例10.2p(x),q(x)和f(x)是连续函数,且线性无关的三个函数y,y,y都是二阶线性非齐次方程123y′′(x)+p(x)y′(x)+q(x)y(x)=f(x)之解，c和c是任意常数，12则其通解是:(D)(A)cy+cy+y;(B)cy+cy−(c+c)y;112231122123(C)cy+cy−(1−c−c)y;(D)1122123cy+cy+(1−c−c)y1122123ò非齐次线性常微分方程两个解的差为齐次线性常微分方程的解ò非齐次方程的通解=齐次方程的通解加非齐次方程的特解x例1
7、0.3设y=e(csinx+ccosx),(c,i=1,2为任意常数),为12i某二阶常系数齐次微分方程的通解，则该方程为().【解】，特征根为λ=1±i，特征方程为2λ=(λ−1−i)(λ−1+i)=(λ−1)+1因此该方程为y′′−2y′+2y=0。xx或：将两个解y=esinx,y=ecosx代入方程12y′′+p()xy′+q()xy=0，求p(x),q(x)；2例10.4求方程x′′+=ωxa之通解。2【解】与相应的齐次方程x′′+ωx=0,不难验证,sinωt,cosωt是齐次方程的两个线性无关解;a是非齐次方程的一个特解.因此,齐次方程的通解
8、是2ωx(t)=csinωt+ccosωt.12a而非齐次方程的通
