根卢才辉( 京师范学

《根卢才辉( 京师范学》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、北京师范学院学报(自然科学版)第13卷第1期JournalofBeijingTeaQhersCollegvVoI．13．No．11992年3月(NaturalSciencesEdltion)Mar．I992氍不定型Kac-Moody代数的极小虚根ri卢才辉(北京师范学院数学系)摘要本文描述了不定型Kac-Moody代数的极小虚根的一些性质及判定条件．利用极小虚根射捌虚报系，井证明了严搭双曲型李代数有唯一的极小虚根，同肘器出其具体表达式．关键词：不定型Kac-Moody~数，双曲型Kac-5[oody代数．虚报，极小虚根．中囝分类号O151．2t·文[1]对Kac-~oody代数暑()的极小

2、虚根作了一些描述。指出了g()的极小虚根的个数有限．给出了极小虚根的判定条件．本文在此基础上，对极小虚根作进一步自撷究·本文所用的符号及术语均与[1]，[2]相同．1基本概念及某些已知的结果设=(啦)⋯是广义Carta~矩阵，g()是对应干的Kac-]V[oody代数．是g)的Caftan子代数．g()关于的根空间分解为：g㈤=02一g．11"皇{．-，}和∈‘；{，⋯，}表示g()的素根系和对偶素根系．△，△，△分别表示根系，实根系，虚根系JA：’，△!’，厶，△分别表示正、负实根集，正负虚根集．C{∈’J《，；)≥O，‘=1，2⋯，)为对偶基本Weyl房．P+{∈’l“，：)∈Z+，‘

3、=1，2，⋯，)为支配整线性函数集．对于A∈，以为最高权的不可约g()一模记为L()．L()的权集记为P()．n口+=∑z+嘶表示g)的正根格．利用口+可在’中引进一个偏序≤如下：对f=1于，E．规定，≤，当且仅当一E。+．在此偏序下，△{中的极小元称为极小虚根．对口=∑岛∈A，令SuppB={E{1，2，⋯，’；}jf≠o}．设E△5。，如果对每个‘∈i1。Supp9有，=O，则称为Nu1l根。以下的一些结果是已知的：Bl理l“g()的极小虚根的个数有限．收稿日期l1991—07—17北京师帮学院学报(自然科学版)引理2设日∈△n(-C)，且口不是NuI1根，那么对于∈△：n(一C)且≤

4、，恒有一∈p(一)．引理3。设∈p．，则．通tp()=W·{^∈p+1^关于非退化}．7b若{【《，：O}cs()是有限型子图的并，则p()=W·{^∈p+【≤}．9表示g()的Weyl样，其中由决定的基本反射用表示(1，2，⋯，”)．2不定型g(A)的极小虚根的某些性质及判定条件为了方便，记△÷(一c，=△：n(-c)．引理4△=UW·口，．∈△(一C)引理5日E△，则日是极小虚根，当且仅当日，是△÷(一c)中的极小根．证明若8是极小虚根，对V1，⋯，站有8一日=一‘日，∈口+，==争{口，．)∈Z一，=1，2，⋯，．故∈△：(-C)，且在△(一c)中也极小．。仁已知∈△(-C)．反设不

5、是极小虚根，则j极小虚根使得<口．由必要条件的证明可知∈△：(一C)．这就与日在△i(-C)中极小发生矛盾。因此是极小虚根．口．定理11)8∈△+，且非Nt~ll根，Ⅲq；8是极小虚根，当且仅当口∈△(-C)，并且对V∈△：(一C)以及V∈妇，一+在P(一)．2)∈△+，且是Nan根，则：是极小虚根，当且仅当口是极小的Null根．证明1)—园口极小，故口∈△：(-c)．若有∈△：(一c)及，∈刀，使得一口+∈p(一)，就推出：一口+≤一，—亭>．这与是粳小虚根矛盾．必要条件得证．仁若口不是极小虚根，贝Ⅱj极小虚根，使得<日，∈△(-C)．因为8不是Null根，由引理2推出-#∈p(一d)．

6、由于五(一)不可约，j∈刀，使一日十∈p(一)，这与对的假设相违，故日极小．2)—亭”显然的．“仁因为口是极小的Null根，因此Supp口为仿射图．而且d(是由仿射型Dy丑Ⅱ翻决定的虚根)．此时任何一个小于口的正根都是实根．因此是极小虚根．口如果是严格双曲型，则定理1中的2种情形不会出现．定理2口是极小虚根，刚对V扣：1，2。⋯，．一3，奇△．Tj证明只需对哪些满足一∈△的一点^i考虑就够了．由于是极小虚根，故∈△(-C)．设：(口，=一g≤O则g=一(口，．因为口一∈△，故p>0，从而g>0．于是得到根链：一，卢一(声一1)”⋯，一，卢，卢+，⋯，+(一1)，卢+g．由于是极小虚根，因此

7、p—，p一2I．，B一声都是实根．因此在基本反射作甩下和它们共轭的根：·(一f)一一《一“卿=+(一声+1)·(一2)=一2a；一《一2，=+(一声+2)，第1期卢才辉：不定型Kac—Moody代数的极小虚根·(一声f)：+g也都是实根．因此上述根链中实根的个数至少有2声个．但由[2)的ex6．14可知：2≤4则≯≤2．故一3每△．口．定理2的逆不成立．举例如下：／2一一、A；I＼一12—5J这是不可对称化的G．C．M．