2011秋高等数学(1)

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1、沈阳建筑大学考试评分标准专用纸2011年秋季学期科目高等数学1（1）A卷适用年级、专业：土木工程学院、市政与环境工程学院、材料科学与工程学院、信息与控制工程学院各专业及管理学院的工程管理、土地资源管理、房地产经营管理、工程造价、城市管理专业11级一、填空题（每小题4分，共20分）63251．e；2．2cos(xx);3.−4sint;4.；5.yxx=cos+sin.6二、单项选择题（每小题4分，共20分）1.C；2.D；3.C；4.D；5.B.三、解答题（每小题6分，共12分）：n1.解原式:=lim3分

2、n→∞2nnn++1=lim2分n→∞111++n1=.1分22xx−eex−−32.解原式:l=im1分x→012x22xx−23ee+−=lim2分x→0x2x−x4ee−=lim2分x→01=3.1分不用等价无穷小代换分母，直接用洛必达法则做对者满分.四、解答题（每小题6分，共12分）：2fx′(1+)x1.解：yxe′()=⋅xxln⎡⎤f(1+x2)+e⋅.6分⎢⎥⎣⎦22fx(1+)1+x2.解：方法一：(tan)y′′=+(xy),2(secy)yy′′=+1,4分2y′=coty.1分2dc

3、y=otdyx.1分方法二：d(tan)yx=+d(y),2secydyxy=+dd,4分2dcy=otdyx,1分2y′=coty.1分五、解答题（每小题4分，共8分）13221.解：∫(x+2)xdx11323=∫(x+2)d(x+2)3分323=(x3+2)2+c.1分92x2.解：∫xarctanxdx=∫arctanxd()1分222xx1=⋅arctanx−⋅dx1分∫2221+x22x11+x−1=arctanx−dx1分∫2221+x2x11=⋅arctanx−x+arctanx+c.1分2

4、22六、解答题（每小题4分，共8分）21.解：令　txxtd===,,2xtdt,211−t原式=∫2tdt2分01+t12=−2()∫ttdt1分01=.1分3ππ2.证：左=+2f(sin)xdxf(sin)xdx，1分∫∫π02令　tx=−π，1分ππ0f(sin)xdx=−f(sin(π−tdt))=2f(sin)tdt，1分∫∫ππ∫022π左=2(∫2fsinxdx).1分0七、解答题(每小题4分，共8分)x1.证：令f()1xx=+−+1，1分211+−xfx′()=>>0,(x0)1分21+

5、x故fx()0在，[+∞)上单调增,∴当时xf>>0,()(xf0)0=,1分1即11+>+xx.1分2342VV32.解：设底边长为则底面积为xx,,而高为h==，2433x2x4382V总面积Sx=+<(),0x<+∞，2分2x33(xV−4)3Sx′==,4唯一驻点：V，1分2x33故xV=4,,为极小值点也是最小值点即当底面边长为4V时,直柱体总面积最小.1分八、解答题(本题4分)θθ解：r′=−sincos,22ππ222θθθ22sr=+=r′dθcos(cos+sin)dθ2分∫∫00222π

6、θ=∫cosdθ1分02πθ==2sin2.1分20九、解答题(本题4分)−∫∫2dxx⎛⎞−x22dxx解：通解为ye=⋅⎜⎟∫2dxeexC+2分⎝⎠222−−xxx=⋅ex(∫2deex+C)1分22−x=+()xCe.1分十、证明题(本题4分)()3证明:令Fx=f(x)−x+x−1，1分则Fx()[1,1]在−上有三阶导数,因fff(0)=−==(1)(1)1,则FFFF(1)−=0,(0)=0,(1)=0,′(1)=0,在[1,0],[0,1]−∃上对Fx()用罗尔定理,则至少x∈(1,0)−使

7、Fx′()0,=11至少∃∈xF(0,1),使′()x=0,1分22又对Fx′()分别在[,],[,1]xxx上应用罗尔定理得122至少∃∈ξξ(,),xx使F′′()0,=1121至少∃∈ξξ(,1),xF使′′()0,=212至少∃∈ξ(,1),xF使′′()0,ξ=1分212再对Fx′′()[,]在ξξξ上应用罗尔定理得至少∃∈⊂(,)(1,1),ξξ−1212使即Ff′′′()0,ξ==′′′()6.ξ1分