气轨上的非线性振动new

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1、物理实验第22卷第9期7气轨上的非线性振动D何勤m(江苏大学梦溪校区物理系江苏镇江212003)摘要；在气垫导轨上设计了一个非线性振动实验，通过计算机进P行数值计算，得出非线性振动周期随振幅的增大而减小的结论，并从理论上进行了分析．关键词：数值计算；非线性振动；振动周期中图分类号：0322文献标识码：A文章编号：1005—4642(2002)09—0007—03HUNonlinearvibrationEon_一airtrack一ZAbstract：Anonlinearvibrationexperime

2、ntonairtrackwasdesigned．Basedonthenumericalsolutionbycomputer，aconclusionwasdrawnthatthevibrationperioddecreaseswiththeincreasingofamplitude，andtheconclusionwasalsoanalyzedintheory．Keywords：numericalsolution；nonlinearvibration；vibrationperiod1引言大角度单摆的振动

3、是非线性振动，振动周期随振幅的增大而增大，这是大家熟知的事实．为了帮助学生进一步了解非线性振动及其振动周期的性质，笔者在气垫导轨上设计了一个非线性振动实验，在导出理想情况下振动周期的计算公式后，用计算机对不同振幅对应的振动图1实验装置周期进行了数值计算，画出了振动周期随振幅的劲度系数为k，弹簧的原长为，滑块静止时变化的曲线，从而得出气轨上非线性振动周期两根弹簧均与气垫导轨相垂直，弹簧长度变为随振幅的增大而减小的结论，最后从理论上对d(>)．取滑块静止时滑块中点为坐标原点，这一结论进行了分析．向右为z轴

4、正向，当滑块中点坐标为z时，滑2实验装置及理论分析块受到指向平衡位置的合力为F．=-2k(一如图1所示，将滑块放置在水平气垫导轨的中间位置，取两根原长、劲度系数均相等的弹一2kq-一丝、簧，一端与滑块中部相联，另一端固定．设弹簧8物理实验第22卷第9期z，一生z相应速度为主一生主当z很小时，F≈一2kz(1-)，滑块受到的，，动能为弹性力为线性回复力．由于滑块在水平面内受dE1msaj(立)2=1ms*—到的弹性力是保守力，取滑块的平衡位置为弹性势能零点，则考虑到两根弹簧质量相等，位置的对称性，两根弹

5、簧在运动中具有的动能为E一一lFdz一E一21双—)2d一1()立一c一2志z+dz—因此，当弹簧质量不能忽略时，在系统的能量表kx～2kl。+z+2kld达式中必须计及弹簧的动能，这样(1)式、(2)式将滑块拉离平衡位置，在z。处静止释放，则滑中的应用+取代．块的振幅A—z。．根据机械能守恒定律得去主-kkx一2志z二+2kld=3振动周期随振幅变化的曲线实验测得滑块质量一357．2g，一根弹簧kx5—2kl√d+z5+2kld质量；一11．3g，弹簧劲度系数k一2．14N／m，解得弹簧原长z一12

6、．0cm，滑块静止时弹簧长度d主：±f-丝(-9C2卜4jk．(一再)]1／2一25．0cm．为了直观地反映滑块的振动周期与滑块从z一0运动到z。处所需时间是周期T振幅之间的关系，根据(1)式用MATLAB软件的1／4，因此编写程序，可画出丁一曲线，如图2所示．为了说明图2的正确性，将(364．7g)，k，，d的T一4f：odx一4√爰[cz一一值代人(2)式计算得T。一2．544s，与图示数据一致．2l(√d+z一+z。)I-1,2dx(1)显然在一般情况下，滑块的振动周期与滑块的振幅即z。有关，不

7、同振幅对应不同的振动周期．当滑块在平衡位置作微小振动时，即z，z。都是小量，(1)式可近似写成T。一4√2kJo。√z一z完成上式积分可得微小振动周期为●。-。。_。●_____●_-。。。——图2丁一曲线To一md(2)由图2可以清楚地看出，由两弹簧作用下在推导(1)式、(2)式过程中没有考虑弹簧的滑块在导轨上所作的非线性振动周期随其振质量，为了分析弹簧质量对系统周期的影响，可幅的增大而单调减小，而单摆在非线性振动区采取能量法近似计算．设弹簧的质量为。，并域的振动周期随其振幅的增大而单调增加．为设弹

8、簧质量在弹簧形变过程中沿其轴线分布均了从理论上解释这一现象，写出单摆运动微分匀．如图1所示，在距坐标原点O为Y处取长方程如下为d的小段弹簧，其质量为d=丁m,dyd20一一，当滑百年sin0块发生位移z时，在Y处小段弹簧的位移为物理实验第22卷第9期9式中的一~-sin0相当于“弹性”回复力，以为‘横坐标，以一~-sin0为纵坐标可得到图3所示‘曲线，图中虚线表示的直线是假设小球受到的力是线性回复力一孚的情况(这里的不限‘制为小量)．对线性回复力作用的小