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1、第19卷第4期高等函授学报(自然科学版)Vol.19No.42006年8月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)August2006文章编号:1006-7353(2006)04-0024(07)-03*幂级数在高等数学中的应用周海兵,张欣星(华中师范大学数学与统计学学院,武汉430079)摘要:幂级数在理论上和实际中都有很多应用,它结构简单,通过幂级数的展开式可以表示函数,利用幂级数和函数的分析性质,常常能够解决数学分析中很多疑难问题。本文着重论述了幂级数在解决一些问题方面的应用。关键词:幂级数;母
2、函数;m阶零点中图分类号:G430文献标识码:Ann形如an(x-x0)=a0+a1(x-x0)+式幂级数S(x)=anx为数列{an}的普母函n=0n=02na2(x-x0)++an(x-x0)+的函数项级数,显然这是当x0=0时的一类简单的幂级数。数称为幂级数。它是一类最简单的函数项级数,从由于普母函数与数列{an}之间是一一对应的,因某种意义上说,它可以看作是多项式函数的延伸此,若两个普母函数之间存在某种关系,那么相应(当an+1=an+2==0时,该幂级数就是n次多的两个数列之间也必然存在一定的关系;反之亦项式函数)。幂级数在理论上和实际中都有很多
3、应然。普母函数在组合数学中有很多实际应用。用,通过幂级数的展开式来表示函数,利用幂级数2.1证明组合恒等式n和函数的分析性质,常常能够解决数学分析中很2k2n-2kn例2证明=4.多疑难问题。由于它结构简单,因而成为计算常用k=0kn-k函数,如指数函数、对数函数、三角函数和很多超1-1证=(1-4x)21越函数的一个基础工具。(1-4x)21.证明不等式1-2k幂级数是表达函数的重要工具,通过其表达=(-4x)k0k式可使某些不等式证明简化。x211例1证明不等式ex+e-x2e2,x(----k+122kk=(-4)x,+).k0k!k2nx2[13
4、5(2k-1)]2k证明因ex+e-x=2chx=2x,2e2=xn=0(2n)!k0k!k2n[135(2k-1)](2k!)k=2x,=x(2n)!!k0k!k!n=02n2n22kxxx-xx(2k)!kk而,因而e+e2e2.=x=x,(2n)!(2n)!!k0k!k!k0k2.组合数的普母函数2k1k故是1展开式x的系数。同设a0,a1,a2,,an,是一给定的数列,称形k(1-4x)2*收稿日期:2006-07-1624第19卷第4期高等函授学报(自然科学版)Vol.19No.42006年8月JournalofHigherCo
5、rrespondenceEducation(NaturalSciences)August20062n-2k2(n-k)1于是理,=是1展开式n-kn-k(1-4x)211-1an=n+1n+1nr2-r1r2r1n-k2k2n-2k1x的系数。故是n+1n+111r1-r2k=0kn-k(1-4x)2=n+1(r1r2)r2-r111n1n+1n+11=展开式x的系数,又11+51-5(1-4x)21-4x1-4x=-,522nn=1+4x++4x+,故n=0,1,2,.n2k2n-2kn=4得证。2.3天平问题k=0kn-k例4设有j种砝码,质量为n1,n2,,
6、nj2.2求解线性递归数列克的砝码分别有k1,k2,,kj个(nlnm,当l例3设数列{an}满足线形递归关系an=m),若只允许天平一端放置砝码,那么,该天平an-1+an-2,n=2,3,,已知初始值a0=1,a1=所能称出的不同克数(正整数的重物)至多有多1,求{an}的一般表达式。少种?称m克的物体有多少种称法?解设数列{an}的母函数是f(x),则有分析只用考虑nnkkkf(x)=a12jnx=1+x+anx,nininin=0n=2f(x)=(x1)(x2)(xj)i=0i=0i=0n+1-xf(x)=-anx展开式合并同类项后的结果,x
7、指数为正的项数n=0M即为可称的所有质量总数,质量为m的物体可nn=-an-1x=-x-an-1x,以称出的方法数即展开式中xm的系数cm.n=1n=23.概率母函数2n+2n-xf(x)=-anx=-an-2x.如果{a0,a1,a2,}为一组实数,记S(x)=n=0n=2以上三式相加即得nanx,若S(x)在区间[-1,1]中绝对收敛,此n=02(1-x-x)f(x)=1+(an-an-1-时S(x)称
