数学分析 (15)new

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1、精品课程《数学分析》课外训练方案第十六章多元函数的极限与连续第十七章多元函数微分学一、基本概念1、多元函数的概念nn元函数的定义：设D是R的一个子集，R是实数集，f是一个规律，如果对D中的每一点X=(x,L,x)，通过规律f，在R中有唯一的一个y与此对应，则称f是定义在D上的一1n个n元函数，它在的函数值是y，并记此值为f(x)，即y=f(x)。通常为方便，也称f(x)是一个n元函数（不强调定义域）。2、多元函数的极限定义n设D是R的一个开集，a∈D，A是一个常数，f(x)是定义在D−{a}上的n元函数．如果∀ε>0，∃δ>0，∀x∈O(a)−{a}有f(x

2、)−A<ε，则称当x→a时n元函数收敛，其δ极限是A，记为limf(x)=A或f()x)→A(x→a或limf(x,x,Lx)=A，其中，12nx→ax1→a1x2→a2Mxn→anx=(x,L,x),a=(a,L,a)）．1n1n说明：１）上述极限又称重极限或全极限，它与后面讲的逐次极限或累次极限不同；n２）从形式上看，n元函数极限的定义与一元函数的极限完全一样，但在这里x,a∈R，O(a)−{a}是n维去心开球；δ3）“x∈O(a)−{a}”可改写为“0

3、{a}”、“0

4、f(x)的极限即是A；反之，x以任何方式及任何点列趋于a时，f(x)的极限即是A，即在的极限存在且为（Hermit定理）。但若x在某一点列或沿某一曲线→a时，f(x)的极限为A，还不能肯定f(x)在a的极限是A。所以说，比一元函数的情形复杂得多。2、二元函数极限定义2设D是R中的一个开集，a∈D,A∈R，f定义在D−{a}上，若对∀ε>0,∋δ>0,∀(x,y)∈O(a)−{a}，有f(x,y)−A<ε，则称当(x,y)→(x,y)时二元δ00函数f收敛，其极限是A，记为limf(x,y)=Aorf(x,y)→A()(x,y)→(x→y)。00x→x0y→y

5、03、二元函数的连续、偏导数、可微的概念都是用极限定义的，不同的概念对应不同的极限，切勿混淆。考虑函数f(x,y)在(x,y)点00的情形，则它们分别为：f(x,y)在点(x,y)连续定义为：limf(x,y)=f(x,y)0000x→x0y→y0f(x,y)在点(x,y)存在偏导数定义为：00f(x,y)−f(x,y)f(x,y)−f(x,y)000000f(x,y)=lim，f(x,y)=limx00y00x→x0x−xy→y0y−y00f(x,y)在点(x,y)可微定义为：00f(x+∆x,y+∆y)−f(x,y)−f(x,y)∆x−f(x,y)∆y0

6、000x00y00lim=0∆x→022∆y→0∆x+∆y因此，要讨论f(x,y)点(x,y)的可微性，首先要求f(x,y)，f(x,y)。这三个概念之间00x00y00的关系可以用下图表示（在(x,y)点）003f连续12fx，fy连续f可微4f，f存在xy2精品课程《数学分析》课外训练方案在上述关系中，反方向均不成立。下面以(x,y)=(0,0)点为例，逐一讨论。00⎧xy22⎪22,x+y≠04⇒2，4⇒3例1：f(x,y)=⎨x+y⎪22⎩0,x+y=0这是教材中的典型例题，f(0,0)=f(0,0)=0均存在，但f(x,y)在(0,0)点不可微，且

7、xylimf(x,y)不存在，即f(x,y)在(0,0)点不连续。x→0y→0223⇒4，3⇒2例2：f(x,y)=x+y，这是上半圆锥，显然在(0,0)点连续，limf(x,y)=0=f(0,0)x→0y→0(,0)(0,0)2

8、

9、1,x>0fx−fxx⎧但===⎨xxx⎩−1,x<0故f(0,0)不存在。由x,y的对称性，f(0,0)不存在。从而，f(x,y)在(0,0)点不可微（否则，xyf(0,0)，f(0,0)均存在）。xy⎧22122⎪(x+y)sin22,x+y≠02⇒1例3：f(x,y)=⎨x+y⎪22⎩0,x+y=021xsinf(x,0)

10、−f(0,0)x2f(0,0)=lim=lim=0，