量子信息学引论第2讲

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1、量子信息学引论第三讲清华大学2012.9.261前面所介绍的内容•量子信息学总览•量子位（量子比特）•单量子位门•多量子位门•在非计算基上的测量•量子线路–例子:Bell态–例子:量子传态2目录第二章量子力学引论2.1线性代数2.2量子力学假定2.3应用:超密编码2.4密度算子2.5Schmidt分解与纯化2.6EPR与Bell不等式3量子力学引论•量子力学是已知的对世界的最精确、完整的描述•量子力学是我们理解量子信息学的基础.•理解量子力学的要求:熟悉线性代数.4线性代数Linearalgebra•线性代数研究矢（向）量空间及其上面的线性操作.•对量子力学的很好理解要基于对基本线性代数

2、的牢固掌握.•本节复习线性代数的基本概念,并描述量子力学中用到的这些概念的标准记法.5线性代数Linearalgebra内容•矢量和矢量空间•几类重要的算子•生成集•厄米算子•线性相关•正规算子•基与维数•张量积•线性算子与矩阵•对易子与反对易子•算子的复合•同时对角化定理•矩阵表示•内积•标准正交矢量组•内积的矩阵表示•外积•本征向量与本征值•伴随与厄米算子6检查一下都认识吗?左边-Dirac记号右边-解释记号的含义Dirac记号•直观•简洁7矢量空间Vectorspace线性代数研究的基本对象是矢量空间。我们最感兴趣的矢量空间为Cn，即复数的n元数组,(z,…,z)。1n一个矢量空间

3、的元素叫做矢量,有时用列矩阵来记之:8矢量空间定义了加法操作(addition),将一对矢量变成另一个矢量。Cn中,矢量加法由下式定义:定义了乘以标量的操作(multiplicationbyascalar).z是一个复数9矢量空间•矢量空间中矢量的标准量子力学符号是：•一个矢量空间也包含一个特殊的零矢量,记作0。（不用0因为已有另外含义）•矢量空间V的一个矢量子空间(vectorsubspace)也是一个矢量空间,即在标乘与加法下为封闭的.10矢量矩阵表示和量子力学符号生成集（张成集）(Spanningset)矢量空间的生成集(spanningset)：一组矢量v,...,v1n的集合

4、,矢量空间中的任一矢量v都可写成生成集的线性组合:vaviii10例:矢量空间C2的一个生成集为:v;v1201a1vavav1122a212生成集矢量空间可以有不同的生成集，如C2的另一生成集为a1a1a2a1a2vvv12a22213线性相关1、三个矢量（1，-1），（1，2）和（2，1）是否线性相关？为什么？2、写出C3的一个生成集。14基与维数•矢量空间V的基:任意两组线性无关集,若都张成矢量空间V,则这两个集所含的元素数相等,称这样一个集合为V的基(basis).•这样一个基矢集合总存在,其中的元素数目叫做

5、V的维数(dimension).•量子信息学中,一般只对有限维矢量空间感兴趣.15基矢量空间可以有不同的基，C2的一个基为100;101C2的另一个基为16线性算子与矩阵17向量空间V上的线性算子线性算子A定义在向量空间V上时是指：A:VV18算子的复合19线性算子与矩阵的例子线性算子与矩阵是等价的（即矩阵可以看成先行算子），如mXn阶以a为元素的矩阵A在同Cn向量进行矩阵成法时，它是把ijCn向量转移到Cm向量的一个线性算子矩阵三维向量b1aaa111213Avbaaa2212223b两者相乘3b1aaaa

6、babab111213111122133Avbaaa2ababab212223211222233b3算子的矩阵表示21矩阵表示与算子等价矩阵表示与抽象算子是完全等价的.注意:为把矩阵与线性算子联系起来,必须对输入和输出矢量空间指定一个输入与输出基.不同基下矩阵表示不一样。练习：设V是以0和1为基矢的矢量空间，A是从V到V的线性算子，使A01,A10给出A相对于输入基0,1和输出基的矩阵表示。0,122算子的矩阵表示的例子AvjAijwi0,1iA0A0A111121A1A0A10122201A11=0,A21=1,

7、A12=1,A22=0,A101001100011A01100123算子的矩阵表示作业设V是以0和1为基矢的矢量空间，A是从V到V的线性算子，使A01,A10给出A相对于输入基0,1和输出基,的矩阵表示，这里P-60（E64）：2.3and2.424泡利矩阵ThePaulimatrices•Pauli矩阵为2x2阵,有多种记号.•对于量子信息学很