数值分析第一章-绪论-2011.9new

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1、数值分析数值分析西北工业大学理学院欧阳洁1第一章绪论§1数值分析的任务§2误差的基础知识§3误差定性分析及数值运算中的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁2§§11数值分析的任务数值分析的任务科学与工程领域中运用计算机求解问题的科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程一般过程：：11实际问题的提出实际问题的提出22建立数学模型建立数学模型33设计可靠、高效的数值方法设计可靠、高效的数值方法44程序设计程序设计55上机实践计算结果上机实践计算结果66数据处理及结果分析数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁3学习算法

2、的意义学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。数值分析的研究对象具有广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。但由于实际问题的具体特征、复杂性,以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。西北工业大学理学院欧阳洁4数值分析的任务数值分析的任务数学模型可算化数学模型可算化（1）用有限维空间代替无限维空

3、间（2）用有限过程代替无限过程（3）用简单问题替代复杂问题研究算法的可靠性研究算法的可靠性收敛性、稳定性、误差估计研究算法的复杂度研究算法的复杂度时间复杂度、空间复杂度、逻辑复杂度西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾¾非线性方程求根非线性方程求根¾¾线性代数方程组求解线性代数方程组求解¾¾函数插值函数插值¾¾函数函数逼近与曲线拟合逼近与曲线拟合¾¾数值积分与数值微分数值积分与数值微分¾¾常微分方程数值解法常微分方程数值解

4、法¾¾矩阵特征值与特征向量计算矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§§22误差的基础知识误差的基础知识一一误差的来源误差的来源二二误差与有效数字误差与有效数字三三数值运算的误差估计数值运算的误差估计西北工业大学理学院欧阳洁7一一误差的来源误差的来源模型误差模型误差::数学模型与实际问题的误差观测误差：观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差截断误差：：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁8例如例如1111

5、1e=1+++L,e=1+++L+n1!2!1!2!n！en−e为截断误差（方法误差）截断误差（方法误差）利用计算机计算e的近似值e时，实际上得不n到e的精确值，只能得到e的近似值e*；这样e*作nn为e的近似值包含有舍入误差和截断误差两部分：**e−e=(e−e)+(e−e)nn西北工业大学理学院欧阳洁9二二误差与有效数字误差与有效数字1.绝对误差与绝对误差限2.相对误差与相对误差限3.有效数字与有效数4.有效数字与相对误差的关系西北工业大学理学院欧阳洁101.1.绝对误差与绝对误差限绝对误差与绝对误差限定义定义设

6、x*是准确值x的一个近似，称**e(x)=x−x为x*近似x的绝对误差绝对误差，简称为误差误差。**在不引起混淆时，简记符号e(x)为e。*如果存在正数ε=ε(x)，使得有**e=x−x≤ε则称*ε为x近似x的一个绝对误差限绝对误差限，简称误差限误差限。实际计算中所要求的绝对误差限，是指一个实际计算中所要求的绝对误差限，是指一个尽可能小的绝对误差限。尽可能小的绝对误差限。1−k绝对误差限一般表示为绝对误差限一般表示为×10，这里，这里kk为整数。为整数。2西北工业大学理学院欧阳洁112.2.相对误差与相对误差限相对误

7、差与相对误差限真空中的光速光速为2.99792458×108米/秒≈3×108米/秒，男子110米跨栏速度跨栏速度约为13秒(世界纪录12.87秒)。若光速测量的绝对误差限为10米/秒，而跨栏速度测量的绝对误差限为1米/秒，跨栏速度的测量精度是否更高？**e光速10e跨栏速度113*≤8比*≤=小得多x13×10x2（11013）110对不同真值，绝对误差限难以刻画相应近对不同真值，绝对误差限难以刻画相应近似数的近似程度。似数的近似程度。定义定义设x*是准确值x(≠0)的一个近似值，称**x−xe(x)=rx为x*近

8、似x的相对误差相对误差。**在不引起混淆时，简记符号西北工业大学理学院欧阳洁e(x)为e。12rr*e计算中，通常取*作为x*近似x的相对误差。x*e条件是比较小．此时有x*****2*eee*x−x(e)e−=−=e[]=r****xxxxxx(x+e)*2(ex)=*1+（ex）**2*2*2=[1−er+(er)−L](er)=O((er