第4讲-静电场定理

《第4讲-静电场定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、静电场定理（一）静电场的旋度任意分布的电荷所产生的场可以分解为点电荷场1r−r'的叠加。E(r)=ρ(r')dV'¢静电场的旋度4πε∫V'r−r'30¢环路定律任意静电场任意静电场转化为研究点电荷电场点电荷电场旋度性质旋度性质旋度性质旋度性质¢电位与应用1'rr−∇×Er()=(∇×)(')d'ρrV4πε∫V'rr−'302qr−r'点电荷E(r)=⋅4πε3电场强度0r−r'静电场的旋度qr−r'∇×(r−r')=0∇×E(r)=∇×4πε30r−r'⎛⎞⎛⎞1'rr−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟∇×−−33('rr−)3=−×('rr−)=0矢量恒等式∇×CF=C∇×

2、F+∇C×F⎝⎠⎝⎠rr''rr1⎛⎞C=11r−r'3F=r−r'∇×→∇×−+∇⎜⎟×−E('rr)('rr)−−33⎜⎟rr''⎝⎠rr⎛⎞r−r'1⎜1⎟∇×=∇×(r−r')+∇×(r−r')33⎜3⎟点电荷电场强度r−r'r−r'⎝r−r'⎠∇×E(r)≡0的旋度恒等于零4静电场的旋度静电场的环路定律根据叠加原理，对于点电荷系统和连续分布电荷产由斯托克斯定理，生的电场，即任一分布形式的静止电荷产生的电场∫E⋅dl=∫(∇×E)⋅ds≡0场强何时的旋度恒等于零，则ls会突变∇×E≡0静电场环路定律静电场环路定理是积分形式，在积分路径上电场强度不要求连续（

3、无微分运算），其可适用于场上述结论的前提是静电场，因为动态场电场的旋度强有突变的场合。不为零（动态场部分讲）；E是无旋场，E的积分与路径无关。（据此可定义电位函数，见后）561旋度性质应用—电位（电势）点电荷的电位∇×E=0qr−r'1r−r'E(r)=⋅∇=−为什么要引入4πεr−r3r−r'−30'rr'∇×∇ϕ≡0电位函数？qE=−∇ϕE(r)=−∇=−∇ϕ(r)4πε0r−r'存在任意积分常数C，负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。优点：采用标量场表述矢量场电位值不唯在未规定参考点情况下，电位函数仅是一个数学一确定qϕ(r)=+C上的辅助函数，而无物

4、理意义。4πε0r−r'78根据电荷分布求电位电位参考点的选取N1qi¢同一个物理问题，只能选取一个参考点。点电荷系统ϕ(r)=∑+C4πεr−r'0i=1i¢场中任意两点的电位差与参考点无关（why?）。¢选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且应考虑连续分布电荷系统合适的物理意义。1dqϕ(r)=∫+C¢电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。4πε0v'r−r'¢电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。dq:ρdV,σdS,τdlNote：无穷长线不能选择无穷远做电位9参考点！10ϕ的物理意义&电位函数的连续性比场强函电位参考点选取（例）E~ϕ积分关

5、系数好！E⋅ddll=−∇⋅ϕqϕ(r)=+C⎡∂∂∂ϕϕϕ⎤=−dϕ4πε0r−r'=−⎢dddx+yz+⎥⎣∂∂∂xyz⎦%((((&(((('全微分p0p0ϕr=0=0C→∞无意义∫p-dϕϕ=−()ppϕ(0)=⋅∫Edlpϕ=0qr→∞C=0ϕ=参考点4πε0rϕ(p)=E⋅dlp设为参考点q∫0ϕ=0C=−ϕ=q−qpr=R4πε0R4πε0r4πε0RE的积分与路径无关性质是定义电位函数的前提11(旋度为零)122例：真空中两平行长导线间电压为U，求任意点处电位。真空中无限长均匀带电细棒电荷线密度为τ>0等位面方程yP(x,y)在静电场中电位相等的点

6、的曲面称为等位r2τ面，则等位线(面)方程:r1E=2πεr−τ+τ0ϕ(x,y,z)=Cx0(-b,0)(b,0)取不同的C值时，得到不同的等位线,根据电位的物理意义，等位线方程为电位0点rAττE⋅dl=0ϕ()P=∫E⋅dl=dr=()C1−lnr11P1∫rr2πε12πε00电位0点rB−ττExdx+Eydy+Ezdz=0ϕ2()P=∫PE2⋅dl=∫rεrdr=ε()lnr2−C222π2π0013τrττϕ()P=ln2ϕ1()P=()C1−lnr1ϕ2()P=2πε()lnr2−C22πε0r12πε00yτ⎛r⎞ϕ(P)=ϕ(P)+ϕ(P)=⎜

7、ln2+C−C⎟122πε⎜r12⎟P(x,y)0⎝1⎠r2r1以y轴上任意点为电位参考点−τ+τyx0(-b,0)(b,0)P()x,yP在y轴上时,r1=r2规定电位为0τrτ2brϕ≈ln0ϕ≈lnτ2bUπε02r22πε2b12πεrU=ϕ1−ϕ2=lnτ=1000πεr2b00ln−τ+τC1=C2线径r0x(-b,0)0(b,0)靠近导线内侧表面电场强度最大(Why?)()Ur2τrϕP=lnϕ()P=ln22br2πεrτττU2ln101Emax=+≈=2br02πεr2πε2b2πεr000002rln0r0y例：真空中二分裂导线间为U，求电位

8、。yP(x