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1、第二章数学物理定解问题2.2基础训练2.2.1例题分析例1导出均匀弹性杆的微小纵振动方程，设杆的弹性模量（杆伸长单位长度所需要的力）为E，质量密度为ρ，作用于杆的外力密度为F(x,t)解：取x轴沿杆的轴线方向，以u(x,t)表示x点，t时刻的纵向位移。使用微元法，考虑杆上的一小段[xx,+∆x的运动情况。以]σ(,)xt记杆上x点，t时刻的应力(杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力)，其方向沿x轴，现在求杆上x点，t时刻的应变（相对伸长）。如图（2。1）所示，A’B’表AB段（平衡位置）在t时刻所处的位置，则AB段的相对伸长是khd
2、aw.com−−−−−−−−−''AB−ABux(+∆xt,)−uxt(,)=，−−−−∆xAB而x点的应变则是ux(+∆xt,)−uxt(,)∂uxt(,)lim=，图2-1弹性杆的微小纵振动∆→∞x∆x∂x由于振动是微小的（不超过杆的弹性限度），由胡克定律有∂uxt(,)σ(,)xt=E。∂x设杆的横截面为S（设为常数），则由牛顿第二定律，[xx,+∆x段的运动方程是]2∂u(,)ξtρSx∆=σ(x+∆xtS,)−σ(,)xtS+Fx(+θ∆xtSx,)∆22∂tξ=+∆xθx1∂u(,)ξt∂u(,)ξt=ES−ES+Fx(+θ∆x
3、tSx,)∆2∂ξ∂ξξ=+∆xxξ=x2∂u(,)ξt≈ES∆+xFx(+θ∆xtSx,)∆22∂ξξ=x其中常数θθ,满足0≤θ≤1(i=1,2)，并利用了胡克定律式，而且将函数12i∂u(,)ξt在ξ=x处展开为泰勒级数并取了前两项。以Sx∆除上式的两端后，令∂ξξ=+∆xx∆→x0取极限，得到ρutt(xt,=)Euxxxt,(+Fxt(,))记EFxt(,)a=,fxt(,)=,ρρkhdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com则方程最后变为2utt(xt,)=auxxxt,(+fxt)(,
4、)这就是杆的纵振动方程，也是一维波动方程。例2导出无旋流体中声波的传播方程。解：运用规律法，直接从现有的理想流体动力学方程和热力学的物态方程出发导出声波方程。设流体密度为ρ(,,,)xyzt，空间中一点(x,y,z)的流体元的速度为����vxyzt(,,,)=vi+vj+vk,压强为pxyzt(,,,)，而连续性方程是xyz∂ρ�+∇⋅(ρv)=0；（1）khdaw.com∂t理想流体的动力学方程是��dv⎡∂v��⎤ρ=ρ⎢+(v⋅∇v)⎥=−∇p；（2）dt⎣∂t⎦此外，声波传播过程是绝热过程，它的物态方程是γp=kρ（3）其中k和γ
5、是常数，它们由流体的性质决定。原则上五个方程（1）－（3）（（1）是矢量方程，它相当于三个标量方程）可以确定五个未知函数ρ,,vvv,和p，然而它们是非线性的，其求解已超出本课程的范围。这里我们xyz设法将它们线性化。ρ(,,,)xyzt−ρ0设平衡时流体的密度为ρ，引入稠密度sxyzt(,,,)=以代替ρ。因0ρ0��∂v为声波在传播过程中，s,∇sv,,∇v,∇v,∇v,都是小量，略去高阶小量后，方程xyz∂t（1）－（3）成为∂sxyzt(,,,)�+∇⋅vxyzt(,,,=0)，（4）∂t�∂vxyzt(,,,)ρ=−∇p，（5）0
6、∂tγ∇=pkγρ∇s。（6）0�由方程（5）、（6）消去p后所得得方程再与方程（4）消去v，即得22sxyzttt(,,,)=a∇sxyzt(,,,，)（7）γ−1其中α=kγρ，由方程（3）、（7）和ρ=ρ(1+s，得到)00khdaw.com若侵犯了您的版权利益，敬请来信通知我们！℡www.khdaw.com22pxyzttt(,,,)=a∇pxyzt(,,,，)（8）�由于流体是无旋的，即∇×vxyzt(,,,=)0，必存在速度势uxyzt(,,,，使得)�vxyzt(,,,=−∇)uxyzt(,,,)（9）这样，求三个未知函数vv
7、v,,归结为求一个未知函数u。方程（5）和（6）消去p后，将xyz（9）代入，有⎛∂u2⎞∇⎜−as⎟=0⎝∂t⎠所以khdaw.com∂u2−as=c（10）∂t方程（4）与（10）消去s后，将（9）代入，得到22uxyzttt(,,,)=a∇uxyzt(,,,)（11）�方程（7）、(8)和（11）都是声波的传播方程。如果ρ(,,,),(,,,),(,,,)xyztvxyztpxyzt都不随t变化，则方程（7）、(8)和（11）都变成Laplace方程：2∇sxyzt(,,,=)0，(12)2∇pxyzt(,,,=0)，(13)2∇ux
8、yzt(,,,=0)，(14)这些方程给出的是稳定场方程。例3均匀、各向同性的弹性圆膜，沿圆周固定，试列出膜的横振动方程和边界条件。解：设圆膜的质量面密度为ρ为常数（因为圆模是均
