构造辅助函数解题技巧探讨new

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1、"$$*年九江学院学报（自然科学版）"$$*第!期L.A1/28.4M9AM92/EN/9O@1P90Q（/20A128P=9@/=@P）R$S!构造辅助函数解题技巧探讨!"!曾玉华叶正道（!湖南省第一师范学校数理系长沙#!$$$"；"九江学院理学院江西九江%%"$$&）关键词：构造法；辅助函数；数学中图分类号：’!(#文献标识码：)文章编号：!$$*%+（$%）在全国研究生入学考试高等数学试题和各高等学校数学专业（数学分析）试题中，许多题目通过构造辅助函数，可以轻松而巧妙的得到解答,本文对构造辅助函数解题做了一

2、个较为系统的小结，供参考。!构造延拓函数，求解一致连续性问题由-./0.1定理，闭区间［2，3］上的连续函数4（5）在［2，3］上一致连续。为了应用这个结论，常常需要将区间（2，3）或（+6，76）内的连续函数延拓到区间的端点。例!设4（5）在（+6，76）可导，且89:4（5）;89:4（5）;<，求证：5"765"+6#=$（+6，76），使4>（5）;$。分析：本题显然是?.88@定理的一个推广，需要找到?.88@定理的三个条件。而题中给出4（5）在（+6，76）可导，及89:4（5）;89:4（5）;<，

3、为此，需要将无穷区间转换成有穷区间，并作连5"765"+6续延拓。!!证明：令5;21=02/A，A$［+，］，构造延拓函数：""!!4（21=02/A）A$（+，）""B（A）;{!（A%）;$。即4>（21=02/A%）!;$。$（+""%!7AD4>（21=02/A%）;

4、$。令21=02/A%;=，则#=$（+6，76），使4>（=）;$。"构造单调函数，求解不等式问题要证明4（5）&E（5），5$（2，3）或相类似的问题，令F（5）;4（5）+E（5），只须证F（5）&$5（2，3）。为此只须证F>（5）G$，且:9/F（5）&$即可。例"设4H（5）I$，4（$）;$。证明：对任何5!G$，5"G$，有4（5!75"）I4（5!）74（5"）。（全国高数统考试题,!JJ"）。证明：构造函数F（5）;4（575"）+4（5）。对4（5）在［5，575"］使用K2E12/E@中值

5、定理，有4（575"）+4（5）;5"4>（5）。!［收稿日期］"$$&+!!+!*［作者简介］曾玉华（万方数据!J(%+），男，湖南永州人，硕士，湖南第一师范讲师，主要从事高等数学教育。·-+<·九江学院学报（自然科学版）(++E年第-期!"#（$）%&#（$’$(）)&#（$）%$(&*（$’!$(）。（+,!,-）又&*（$）,+，即&*（$’!$(）,+，$(.+!"#（$）,+。!"（$）是单调减函数，且$-.+，!"（$）,"（+）。即&（$-’$(）)&（$-）,&（$(）)&（+）而&（+）%+。

6、!&（$-’$(）,&（$-）’&（$(）。/构造可积函数，求解级数问题7由定积分的定义，!0）·$$。因此，可将某些级数的和函数或数列级数的和1&（$）2$%345#&（#44"（6）"+4%+转化成定积分的问题来解，其关键就在构造相应的可积函数。é$($ù947947ê77947$ú例/求345’’⋯’。（全国高数统考-::;）7"8êê7’---úú7’7’ë(7û解：因为$($947947-($-74$77947$-($$$（947’947’⋯’947$）%#947,’’⋯’,（947’947’7’-77

7、7’-4%-77’---7777’7’(7-74$⋯’947$）%#94774%-7令&（$）%947$$，$%（+，-］。(7-4$-74$则!--。+&（$）2$%!+947$$2$%%345#947%345#947$7"84%-777"874%-77-4$7-74$((又345#947%345·#947%-·%。7"84%-7’-77"87’-74%-7$$é$($ù947947ê77947$ú(由两边夹定理：345’’⋯’%。7"8êê7’---úú$7’7’ë(7û<构造=1>?17>@函数，求解条件极

8、值问题求解条件极值问题中的=1>?17>@乘子法，其实质就是构造=1>?17>@函数来解此类问题。另外，最优化方法中的所谓惩罚函数法，也可以归于构造辅助函数解条件极值一类。例<求函数&（$，A，B）%$<<<在条件$AB%-下的极值C该极值是极大值还是极小值，为什’A’B么？（厦门大学，-:;-）解：作=（$，A，B，"）%$<<<’A’B’"（$AB)-）。令%=/%<