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1、第5卷第1期太原师范学院学报(自然科学版)Vol.5No.12006年3月JOURNALOFTAIYUANNORMALUNIVERSITY(NaturalScienceEdition)Mar.2006数学模型在经济理论中的应用112易红霞何先平杨明林(1.长江大学信息与数学学院,湖北荆州434023;2.长江大学地球科学学院,湖北荆州434023)〔摘要〕文章以数学模型和经济增长模型为基础,给出了国民收入的数学模型,并预测到2043年我国人均国民生产总值将达到2998.36美元.〔关键词〕数学模型;微分方程模型;经济增长〔文章编号〕1672-2027(2006)01-0019-03〔中图分
2、类号〕O29〔文献标识码〕A0引言[1]随着科学技术的迅速发展,数学模型越来越多地出现在现代化人的生产、工作和社会活动中.电气工程师必须建立所要控制的生产过程的数学模型,用这个模型来对控制装置做出相应的设计和计算,才能实行有效的过程控制.气象工作者为了得到准确的天气预报,一刻也离不开根据气象站、气象卫星汇集的气压、雨量、风速等资料建立的数学模型.生理医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型,就可以分析药物的疗效,有效地指导临床用药.数学模型已经渗透到各个领域中,数学模型在经济中的应用已经成为经济领域中最核心的问题,也一直是人们所关注的重点.1国民收入的微分方程模型[2]国民收
3、入的主要来源是生产,国民收入主要用于以下三个方面:消费资金、投入到生产的资金积累及公共设施的开支.设t时刻国民收入水平、消费水平分别为Y(t)、C(t),t时刻的投入再生产的资金为I(t),G表示投入于公共设施的资金,这里看作常数.设国民消费水平与国家生产水平成正比,比例系数为k,即C=kY(k为消费系数,那么s=1-k则为积累系数),那么t时刻的需求水平D(t)可表示为:D(t)=kY+I+G(1)设生产水平的改变与需求水平的差成比例,即dY=l(D-Y)(l为比例系数且l>0).(2)dt设投入再生产水平的变化率与国民收入水平的变化率和现有的投资水平的差成正比例,即dIdY=m(a-I
4、)(m>0,a>0,且m,a为常数).(3)dtdtdY由(1)、(2)式可知+lsY=l(I+G)(4)dt2dYdYdI上式两边对t求导得:2+ls+=l(5)dtdtdt2dYdY计算整理后有2+(ls+m-lma)+slmY=lmG(6)dtdt引入记号A=ls+m-lma,B=mls,上式化为:X收稿日期:2006-01-20作者简介:易红霞(1980-),女,湖北潜江人,长江大学信息与数学学院在读研究生,研究方向为概率与数理统计研究.X20太原师范学院学报(自然科学版)第5卷2dYdY2+A+BY=lmG(7)dtdt上式是一个关于国民收入的二阶常系数微分方程,其系数A、B、l
5、、G及Y(0),I(0)均可由统计数据得到,其中Y′(0)可将Y(0)及I(0)带入(4)式得到,故此方程有解.2模型的分析(7)式这个关于国民收入的二阶常系数微分方程的特征根可以求解出来,其两个特征根分别为:22-A+A-4B-A-A-4BK1=,K2=22G验算可知为(7)式的一个特解,下列对(7)式的通解讨论.s2KtKtG1)当A>4B时,(7)式的通解为Y(t)=Ae1+Be2+,若K1、K2中至少有一个为正,则limY(t)=+∞,st→+∞G即国民收入随时间的推移而增加,K1、K2均为负时,则limY(t)=,即国民收入随时间的推移而趋于常数t→+∞sG,也就是国民收入稳定.
6、s222)当A=4B时,即有K1=K2=K则与当A>4B时的情况相同.即当K>0时,国民收入随着时间的推移而G增加,当K<0时,国民收入随着时间的推移而趋于常数,也就是国民收入最后稳定.s22A4B-ALt3)当A≤4B时,此时K1=L+vi,K2=L-vi,其中L=-,v=那么(7)的通解为Y(t)=hesin22GLt(vt+w)+,其中h,w为常数,此时国民收入Y(t)将随着时间的推移而出现振荡,当A>0时,limhe=0,st→+∞Lt即振荡的幅度不断下降,则国民收入将趋于一个常数,当A<0时,limhe=+∞,表示振荡的幅度随着时间t→+∞的推移而增大,根据差分方程的稳定性理论可
7、知,只有当特征根的模Q<1时,差分方程的解才是稳定的,有稳定解的模型则可以用来预测国民收入的增长趋势.而对于这个具体的模型则只要B<1,就可以利用这个模型进行预测.3模型的应用通过统计数据(统计数据来自2003年中国统计年鉴),可以得到如下数据s=0.25,A=0.8,m=1,l=2,Y(0)=138,I(0)=556.24,G=65.22.把1987年看作是第0年,所有的资金全部兑换成人均美元,计算s、A、[3]m、l
