简论微分方程建模

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1、万方数据第19卷第5期四川文理学院学报(自然科学)2009年9月V01．19No．5SichuanUniversityofArtsandScienceJournal(NaturalScienceEdition)Sep．2009简论微分方程建模郑宗剑(四川文理学院数学与财经系，四川达州635000)【摘要】利用微分方程建模解决实际问题时应特别注意重视两个环节：一是从实际问题抽象为数学问题；二是解决数学问题并回到现实世界中进行检验或运用。【关键词】数学建模；数学模型；微分方程；数值解；平衡点0引言【中

2、图分类号]0175．1【文献标识码】A【文章编号】1674—5248(2009)05—0093—03当今在各种杂志，期刊等各种载体上提到比较多的两个词就是数学模型与数学建模。数学模型是用数学符号(或数学语言)对一实际问题或实际系统发生现象的(近似的)描述。而数学建模则是获得该数学模型、求解该模型并得到结论以及验证结论是否正确、合理的全过程。简单地讲，数学建模就是利用数学工具解决实际问题的全过程，它特别体现了“用数学”的精神。【l“-人们在探求自然界客观发展规律的过程中经常会遇到这样的问题：如果一个

3、变量变化(增大或者减小)，另一个变量将会如何随之变化?即需求两个变量之间的关系式，直接求出两个变量间的关系往往非常困难，但是却能够比较容易建立关于未知变量的导数、未知变量以及自变量的等式，即建立微分方程。常微分方程涉及应用领域从物理、力学领域渗透到了生物、化学、社会学、气象、管理、工程技术等领域。因此微分方程成为解决实际问题重要的数学工具之一。无论是什么建模书籍，常微分方程都成为必讲重点内容。常微分方程解决实际问题的时候主要涉及两方面的内容：一是哪些问题可以抽象概括为一个常微分方程模型，并建立起相

4、应的模型，二是对模型分析求解将其结果回到现实世界给以解释。这两方面内容其实就是建模专家叶其孝教授等多次提到要培养学习者用数学工具解决实际问题的能力，就是注意培养其双向翻译能力。本文以微分方程为例，重点阐述建模的主要过程，即从现实世界到数学世界再回到现实世界。卜。6。1微分方程模型的建立用微分方程工具解决实际问题首要的一步就是将实际问题抽象为一个数学结构(或者说数学模型)，即是哪些问题可以考虑抽象为一个微分方程模型，又怎样来抽象?1．1哪些问题可能涉及微分方程在实际问题中，有许多表示“导数”的常用词

5、，如。速率”，“增长”(在生物学以及人口问题研究中)，。衰变”(在放射性问题中)、。扩散速率”(化学反应中)以及“边际的”(经济学中)等。“改变”，“变化”，“增长”，“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，往往会用上导数，那么再根据需要可以建立起含导数的等式，即用微分方程在一定程度上来刻画该问题。比如2004“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛题C题饮酒驾车问题，该问题主要研究人饮酒后过一定时间，人体内酒精含量，像这种涉及随时间变化的相关问题，我们可以考虑用微分方程工具来解决。另外还有2007高

6、教社杯全国大学生数学建模竞赛题A题中国人口增长预测，关于人口问题从18世纪英国人口学家马尔萨斯最先用一个简单的微分方程描述人口按照指数增长，到现在已经研究了二百多年，大多还是采用微分方程工具，只不过由于人口问题较复杂，考虑的因素更多，为了更好的描述问题，我们建立起更合理的微分方程模型。1．2怎样建立微分方程模型1．2．1运用已知的科学定律(或规律)比如物理上经典力学中牛顿第二定律、万有引力定律，热力学中牛顿冷却定律，电学中回路电压定律等等都可能建立与变化率有关的等式。还有化学上比如放射性物质衰变规

7、律，溶液稀释规律，能量守恒等。1．2．2利用平衡与增长式许多现象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封·【收稿日期】2009—04—0r7【作者简介】郑宗剑(1982一)，男。四川巴中人，助教，硕士，主要从事常微分方程与建模研究。93万方数据2009年第5期郑宗剑：简论微分方程建模闭区域内的能量、货币量等。利用这一特性，可以分析和建立有关变量间的相互关系。比如社会科学领域中人们建立人口增长模型来预测人口增长时就有下面等式；{山时间内的人I：1增长I={山时间内的出生人口}一{加时间内死亡人口}+I

8、出时间内迁入人口}一{△￡时间内内迁出人口l简单的讲是：变化=输入一输出1．2．3微元法用微积分的微元分析法(考察研究对象的有关变量在一个很小的时间段内变化情况)建立常微分方程模型，实际上是寻求一些微元之间的关系式。在建立这些关系式时也要用到已知的规律或定律。与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。例l有高为lm的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为lcm2。开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器