以简驭繁在常微分方程教学中的应用new

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1、万方数据52数学教学研究第33卷第5期2014年5月以简驭繁在常微分方程教学中的应用王晶囡，姚慧丽，罗来珍，武志辉(哈尔滨理工大学应用科学学院应用数学系。黑龙江哈尔滨150080)摘要：给出“化繁为简，以简驭繁”在教学应用中的重要性．以例题的方式阐述了“以简驭繁”在解的存在唯一性定理证明中的应用和在解析解中的应用以及在图解法中的应用．实现在常微分方程教学中应用以筒驭繁的思想来培养学生创新思维的目的．关键词：以简驭繁；一阶线性微分方程；普拉斯变换；创新思想中图分类号：0175．1；0193“化繁为简，以简驭繁”是指将一个困难复杂问题转换成一个

2、或多个等价的简单问题[1]，再通过分析和解决这些简单问题找到原来复杂而困惑问题的答案，所以“化繁为简，以简驭繁"便成为初等数学和高等数学不可缺少的有效教学手段之一．大学数学与初等数学的区别除了授业解惑的方式不同，还在于大学数学的教学更注重培养学生的学习之道和数学仓4新的能力．所谓学习之道，就是引导学生自己从不同角度审视问题，转换问题，再从中揭示问题的内涵，将不同的知识内容建立联系，将孤立的知识点用思考的线串起来，再扩展到系统的知识面，从而建立起对数学知识整体的认知结构．例如在高数中，极限这个概念就是一条思想线，它可以将函数的连续性，可导性，

3、定积分和级数等孤立的数学知识串起来形成一个知识面．所谓数学创新[2]并不是指见所未见，闻所未闻的新知识、新事物，而是指把旧的很早就已知的或者人人都视而不见的事物当作新事物观察，得到新的或不同的数学知识和观点．例如，在文[3]中已将曾讲过的变量分离方程业：一点如y转换成对称形式z如+y曲20．(2)再次观察，就可得到恰当微分方程的定义及其解法．在常微分方程中除了解析解之外，利用几何思想去分析微分方程解的大致走向，给出解曲线的图像也是微分方程一个很重要的研究方向．从导数的几何意义出发，再次观察方程(1)，给出微分方程图解法的思想，展示出方程(1

4、)的向量场和解曲线之间的关系(如图1所示)．}≥簇=-》≮j?⋯．≮≮≮；。。≮紫瓣j‘毒}{囊夕：■?ll”I≯’01≥琴j

5、≯一_

6、。三：i：≯尹j}图1方程(1)的相平面收稿日期：2014·03—18基金项目：黑龙江省高等学校教改工程项目(JG2012010254)；黑龙江省教育科学规划课题(G砹)12n025)I哈尔滨理工大学教学研究课题(B201200038，C201300011)作者筒介：王晶园(1978一)，女，讲师，博士，从事微分方程稳定性及分支理论研究工作及复变函数教学工作．E-mail：wangjingnan@hrbus

7、t．edu．饥万方数据第33卷第5期2014年5月数学教学研究53在常微分方程教学中应用“化繁为简，以简驭繁”的思想还有很多体现，例如，在存在唯一性定理的证明中、各种解析解的求法中以及在平面系统奇点附近解曲线的刻画中．下面就逐一地介绍“化繁为简，以简驭繁”在以上3个方面的应用．1“化繁为简”在定理证明中的应用每一个微分方程都可以视为解决实际问题而建立模型的一个抽象形式．如果在求解方程之前，就能初步判断出所建立的方程是否合理，是否有意义，那么对解决实际问题是非常重要的．方程建立的合理性，主要体现在方程解是否存在、是否唯一这两个方面，微分方程解

8、的存在唯一定理可以判断方程建立的合理性，也是学生掌握的难点之一．其原因是，如果想直接证明微分方程解存在唯一性，就要用到泛函分析中的压缩映射原理，但作为大二的学生还没学过泛函分析，所以解决这个问题最好的方法就是应用“化繁为简”的思想[4]，将定理化为5个容易证明的等价命题，具体过程见文献[5]．Z“以简驭繁”在解析解中的应用一阶微分方程的初等解法有很多，例如分离变量法、常数变易法、变量代换法以及积分因子等解法．处理高阶微分方程的方法却很有限，特殊方程需要特殊解法，例如，高阶常系数线性方程和高阶欧拉方程常用特征值法与比较系数法求解，贝塞尔方程可

9、以用级数解法．若带有初值问题的常系数线性方程还可以用拉普拉斯变换方法等等．下面，以一个简单的一阶微分方程为例题展示“以简驭繁”的思想[6]，引出特征值法、拉普拉斯变换方法与级数解法的初步思想．J．．例l求方程芝=y—z满足初始条件L¨了(O)=O的解．解法l原方程属于一阶线性方程，由常系数变易法得到的通解公式3，=eJ“d出(1Q(z)eJ如m+c)，取pQ)一l，Q＆)=一z，可得到其通解为y=eJ出(1(一z)e-J血+c)一z+1+cr．将初值3J(o)=o代入，可碍c一一1．所以原方程满足初值问题的解为y=z+1一r．解出例1方程的

10、解不是本文的关键问题，我们的目的是用例1来说明“温故知新”的策略[71，以及如何在微分方程教学中利用以简驭繁的思想，现换个角度再次分析例1，思考还能得到哪些其它解法．2．1特征值