数理方程习题解答

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1、竖立方程习题解答习题一1习题二3习题三5习题四错误！未定义书签。习题五错误！未定义书签。习题1.1.41．导出弦受阻力的波动方程其中阻力与速度成正比，为常数．解我们考虑弦的一个微元。令为端点处的张力，如教材图1.1所示，沿锤直方向作1用在这个微元上的力是,阻力为,由牛顿(Newton)第二定律，此合力等于质量乘以加速度．因此(1)其中是密度，是微元弦的弧长．因为运动弦的斜率是很小的，故有Δ≈Δsx.因角和也很小，所以我们有，，于是(1)式变成（2）但由微积分学我们知道，在时刻,,于是，方程(2)便可写成令取极限，我们求得（3）其中2.设长度为的均匀弹性杆的线密度为，杨氏

2、模量为，试列出杆的微小纵振动方程。解考虑杆在无外力作用下的振动。取杆的一端为原点，干的方向为轴建立坐标系：则杆上各点在时刻的位移是。在杆上任取一段，其两端点静止时的坐标为,此小杆段在时刻的相对伸长为：，令得点在时刻的相对伸长为uxt(,)，由Hooke定x律知张力为，再此小杆段上用Newton第二定律得两边同除并令得：若杨氏模量为为常数则得：。1牛顿(Newton)第二定律与动量守恒定律等价，也可以用动量守恒定律来见方程，见《数学物理方程讲义》（姜礼尚、陈亚浙）P11习题1.2.4习题1.2.41设悬浮粒子由重力引起的沉淀速度是不变的，又假定在同一水平面上粒子的浓度是相

3、同的，试给出悬浮粒子的浓度所满足的方程．解取竖直向下的方向为轴，考虑介于平面之间，截面积为常数的柱体。质量守恒关系为其中为这段时间内柱体内粒子质量的增加，而为这段时间内由于扩散作用经由柱体的上、下底面进入柱体内的粒子质量，是由于沉淀经柱体的上、下底面进入柱体的粒子质量。其中是扩散系数。从而注意到与的任意性，由上式立即得2．没有一厚为l的无限平面板，在其表面与温度为的周围介质发生热交换，如果板的温度不随其厚度而变化(即在垂直于板面的直线上的点的温度均相同)，试给出板冷却的初边值问题。解取平面上任意一区域，在从到()这段时间内考察柱体中热量的平衡关系：其中为从到这段时间内，

4、中温度的变化所吸收的热量，而与则分别为这段时间内，通过由板内其他部分流入的热量以及通过上、下板面与周围介质的热交换所获得的热量。不难计算得3数学物理方程习题解答从而所以其中。此外还有初始条件2于是得二维Cauchy问题2取垂直于板平面的方向为轴，则在温度依赖于的情况下，所讨论的是由两平面所界的无界区城内的问题，边界条件给在两平面上，此时边值问题为在温度u不依赖于z的情况下，不能简单地由三维方程得出u满足二维热传导方程，因为若将所给问题当作二维问题，则此时上、下板面与周围介质的热交换不能再当作边界条件来处理，而应考虑到方程中去。也就是说，边界条件和方程不是截然分开的两个不

5、同的东些，而是同一事物的不同表现方式。在齐次方程和非齐次方程、齐次边界条件和非齐次边界条件之间的转换时，就会从数学上遇到此问题。4习题1.3.3习题1.3.31．(《数学物理方程讲义》姜礼尚、陈亚浙P34,17)设11222Jv()=∇++∫∫()

6、v

7、vdxaxvds()−−∫fvdx∫gvds22Ω∂ΩΩ∂Ω其中ax()0≥。考虑以下三个问题：1问题I(变分问题)：求uMC∈=Ω()使得Ju()min()=JvuM∈1问题II：求uMC∈=Ω()使得它对于任意vM∈都满足∫∫()∇⋅∇+⋅−uvuvfvdx+(axuv()−gvds)=0Ω∂Ω21问题III(第三边

8、值问题)：求uC∈()Ω∩C()Ω满足以下边值问题⎧−Δ+uuf=x∈Ω⎪⎨∂u⎪+=∈axug()x∂Ω⎩∂n(1)证明问题I与问题II等价．21(2)当uC∈()Ω∩C()Ω时，证明问题I、II、III等价．1证明设问题I(变分问题)成立，即uMC∈=Ω()使得Ju()min()=Jv，则对uM∈∀∈εR∀∈vMuvM+∈ε，从而122jJ()εε=+=∇+++(uv)∫()

9、(uvuvdεε)

10、()x2Ω12++∫∫∫a(xuvd)()εεεsfuv−()+dxg−()uv+ds2∂ΩΩ∂Ω在ε=0取的最小值，所以j′(0)=0，即j′(0)=∇⋅∫∫()u∇+

11、vuvdx+axuvds()−∫fvdx−∫gvds=0（1）Ω∂ΩΩ∂Ω所以问题I⇒问题II。由于j()ε是一个二次函数，故j(0)取最小值等价于j′(0)=0，也就是问题I⇔问题II。21当uC∈Ω()∩ΩC()时由高斯公式得5∂u∫∫∇⋅∇uvdx=∇∇−Δ⎡⎤⎣⎦()vuvudx=∫∫vdS−Δvudx∂nΩΩ∂ΩΩ所以⎛⎞∂u∫∫()−Δ+−uufvdx+⎜⎟axu()+−gvds=0∀∈vM⎝⎠∂nΩ∂Ω由变分引理得⎧−Δ+uuf=x∈Ω⎪⎨∂u⎪+=∈axug()x∂Ω⎩∂n所以问题II⇒问题III。而问题III⇒问题II是