高数(ab)期末试题2006-2007-1ak

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1、高等数学（AB）期末试题2006-2007-1Ak高等数学（AB）期末试题2006-2007-1（A卷解答）一、填空题（满分15分，每小题3分）111.∫dx=ln

2、x

3、−ln(x2+)1+cx(x2+)122x−12.设y=，则x=1是第一类间断点.2x−3x+2f(x)3.已知f)0(=,0f′)0(=k，则lim=k.00x→0x+∞k24.设∫dx=1（k是常数），则k=01+x2πx3−115.已知∫f(t)dt=x−1其中f(x)连续，则f)7(=.012二、选择题（满分15分，每小题3分）1.当x>0时，若f′(x)>g′(x)，则当x>0时

4、(D).(A)f(x)>g(x)；(B)f(x)≥g(x)；(C)f(x)

5、(B)∫f(t)dt=F′(x)；adxadxdbx(C)∫af(t)dt=∫af(x)dx；(D)∫aF′(t)dt=F(x).dxdx5.f′(x)=0是可导函数f(x)在x处有极值的（A）.00第1页共4页高等数学（AB）期末试题2006-2007-1Ak(A)必要条件；(B)充分条件；(C)充要条件；(D)非充分又非必要条件.三、计算下列各题（满分30分，每小题5分）3+x15x3分1.解：lim()5x=lim1(+)2(+x)2+x=e5x→∞2+xx→∞2+x1x3tanx−sinxtanx1(−cosx)3分22.解：lim=lim=lim

6、=0x→0xln(1+x)x→0x2x→0x2x3.设φ(x)=∫sin(x−t)2dt,求φ′(x).00x解：令u=x−t，ϕ(x)=∫sinu2d(−u)=∫sinu2du，x0ϕ′(x)=sinx2.⎧x=t−ln(1+t2)2dy4.设⎨，求.2⎩y=arctantdx2t1(−t)21解：x′(t)=1−=y′(t)=1+t21+t21+t21dy1+t21==，dx1(−t)21(−t)21+t2d2yd1dt21+t21(2+t2)=()==.dx2dt1(−t)2dx1(−t)31(−t)21(−t)5cosx5.已知f(x)的一个原函数

7、是，求∫xf′(x)dx.x解：∫∫fx′(x)dx=xdf(x)=xf(x)−∫f(x)dxcosxcosxcosx=x()′−+C=−sinx−2+C.xxxπ6.计算∫1+cos2xdx.0ππ2解：∫1+cos2xdx=∫2cosxdx00ππ⎛π⎞=∫2cosxdx=2⎜∫2cosxdx−∫πcosxdx⎟=22.0⎜0⎟⎝2⎠πtanx2x2四、（8分）证明当0122tanxx11tanxπ证令f(x)=,0

8、x)==，x2x2cos2x∵x>sinx,∴x>cosxsinx,f′(x)>0∴f(x)单调递增.πtanx2tanx1tanx2x2当0f(x)，>,即>.12212xxtanxx2111π1sinx2五、（8分）证明≤2dx≤.2∫πx24sinx证令f(x)=xxcosx−sinxcosx(x−tanx)f′(x)==<0∴f(x)单调递减.x2x22ππ42∴=f()≤f(x)≤f()=π24π2πππ12sinx422=2dx≤2dx≤2dx=.2π∫π∫πxπ2∫π2444六、（8分）求过点(1,1,1)且垂直于两平

9、面x−y+z=7和3x+2y−12z+5=0的平面方程.GG解：已知二平面的法向量为n=,1(−,1)1，n=,2,3(−12)。12GGG则所求平面的法向为n=n×n=(10,15,)512故所求平面方程为10(x−)1+15(y−)1+(5z−)1=0即2x+3y+z−6=0.七、（8分）求圆盘(x−)22+y2≤1绕轴旋转而成的旋转体的体积y.12222解：V=∫π[(2+1−y)−2(−1−y)]dy1-12122=π81−ydy=π×8××π×1=4π.∫1-2八、（8分）设函数f(x)在[-a,a]上具有二阶连续导数(a>0)，且f)0(=0，

10、1.写出f(x)的带有拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式；a2.证明