极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法_乌力吉

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1、第20卷第1期安徽冶金科技职业学院学报Vol.20.No.12010年1月JournalofAnhuiVocationalCollegeofMetallurgyandTechnologyJan.2010极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法乌力吉(马鞍山花园中学安徽马鞍山243000)摘要:极限的思想是近代数学的一种重要思想,数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。所谓极限的思想,是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。用极限思想解决问题的一般步骤可概括为:对于被考察的未知量,先设法构思一个

2、与它有关的变量,确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量;最后用极限计算来得到这结果。关键词:极限理论;函数;级数;微积分中图分类号:G633166文献标识码:B文章编号:1672-9994(2010)01-0054-04出来,微积分理论获得了空前丰富。法国著名数学1极限理论发展的概况家柯西的研究使分析基础严密化的工作向前迈出111国内外古代极限思想了第一大步,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积在中国古代数学史上,无限思想(极限的最初分、无穷级数的和等概念建立在了较坚实的基础雏形)占有非常重要的地位。很多哲学思想无不渗上。不过,在当时情况下,

3、由于实数的严格理论未透着“极限”的光辉思想。著名的《庄子》一书中有建立起来,所以柯西的极限理论还不可能完善。柯言“:一尺之棰,日取其半,而万世不竭。”从中就可西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自体现出我国早期对数学中无穷的认识水平。而我己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中,且运论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提系。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工术”。

4、公元前三世纪,数学之神希腊数学家阿基米作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形。毕矛盾性,从而使微积分学建在了牢固可靠的基础之达哥拉斯学派关于不可公度量的发现,以及在关于上。数与无限这两个概念的定义中就已经孕育了微积113极限理论在数学分析中的地位和作用分学的关于“无穷”的思想方法。柏拉图和德谟克极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。利特学派探索过无穷小量观念等等。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极112极限理论的形成过程限。在几乎所有的数学分析著作中,都是先介绍函第二次数学危机有力地推动了极限理论

5、的发数理论和极限的思想方法,然后利用极限的思想方展,其源于微增量相关的一类计算。经过一个多世法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗元函数的偏导数,广义积分的敛散性、重积分和曲日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧线积分与曲面积分的概念。极限思想方法是数学拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法,也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学收稿日期:2009-12-02;改回日期:2009-12-26分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题作者简

6、介:乌力吉(1957-),男,马鞍山市花园中学教师,中教一级。(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体总第47期乌力吉:极限理论在数学分析中的地位与作用及求极限的方法·55·体积等问题),正是由于它采用了极限的思想方法。①极限存在Z左右极限存在且相等;极限法揭示了变量与常量、无限与有限的对立②夹逼定理;统一关系,是唯物辩证法的对立统一规律在数学领③连续性定理:单调有界数列必有极限;域中的应用。极限理论在现代数学乃至物理等学④柯西准则:liman存在ZPε>0,vN,n→∞科中有广泛的应用,这是由它本身固有的思维功能Pn,m>N,有

7、an-am

8、

9、<ε.limf(x)存在。x→x0所决定的。借助极限法,人们可以从有限认识无212几种常用的求解极限的方法限,从“不变”认识“变”,从直线形认识曲线形,从量(1)用定理和准则(比如夹逼定理及连续性定变认识质变,从近似认识准确。无限与有限有本质理);的不同,但二者又有联系,无限是有限的发展。无(2)利用两个重要极限:限个数目的和不是一般的代数和,把它定义为“部sinx1x分和”的极限,就是借助极限法,从有限认识无限。lim=1;lim(1+)=e;x→xxn→∞x0“变”与“不变”反映了事物运动变化与相对静止两种不同状态,但它们在一定条件下又可相互

10、转化,这种转化是“数学科学的有力杠杆之一”。例如,求变速直线运动的瞬时速度,这时速度是变量,为此,人们先在小范围内用匀速代