多项式环及特殊上三角矩阵环的分次与非分次性质new

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1、维普资讯http://www.cqvip.com革17卷第2期福建师范大学学报(自然科学版)Vo1．17No．22001年6月JournalofFujianTeachersUniversity(NaturalScience)Jun．2001文章编号：1000—5277(2001)02—0010-05多项式环及特殊上三角矩阵环的分次与非分次性质周忠眉陈清华．OO．．．0(1-漳l州师范学院数学系，福建漳州3630002·福建师范大学数学系，福建福5"I350007)摘要：引进分次(弱分次)Armendariz环覆分I凫拟Baer环的概念，计论了环上的舟次与非分次多项式．0O0

2、(特殊上三角矩阵)环的Armendariz环与拟Baer环的性质．关键词：Armendariz环：(弱)分次Armendariz环；拟Baer环；分次拟Baer环，0O；0：中图分类号：0153，3文献标识码：A．0O0众所周知，环上的多项式环与特殊上三角矩阵环．00．：0dn2‘a1lⅡ1Od‘日2_1d!nSTM(R)d，口∈R，1≤i<≤n．0O0：：Ⅱ目n，00幽．，O．．．0与R本身有许多密切的联系，许多性质均能保持下来．一个分次环所具有的分次性质在不考虑分次的情¨形能否保持下来是分次环研究的热门课题之一．R]与sTM(R)具有以下自然的分次结构：R[]一Q(R[

3、])t，其中(R[])．一{r}∈R)0≥o)，(R[z])一0(i1-)．笔者试图讨论REx]与STM(R)上的分次与非分次性质之问的关系．Arndariz环的研究是由Armendar和Rege，Chhawchharia／开始的．一个环称为Amendi环，如果对，(z)一。。++⋯dz，g(z)一6。十6+⋯-_6C-,REx]有，)g(z

4、)一。，则t一0(0≤i≤m，0≤，≤n)．简约环是Armendariz环[，Armendariz环的子环显然是收藕日期~000-12一z7基金项目福建省教委科学基金资助课题(JAO01521BOO2O!)作者简介：周忠眉(1969-)，女，浙江温州^，讲师维普资讯http://www.cqvip.com第2期周忠眉等：多项式环及特殊上三角矩阵环的分次与非分次性质11Armendariz环．本文首先引进分次(弱分次)Armendariz环概念，讨论了环上的分次与非分次多项式环(特殊上三角矩阵环)上关于Armendariz环性质的等价性，推广TE1]，[3]，[4]中相应的结

5、论．拟Baer环是由w．E．Clark引入，w．E．Clark，A．Pollingher，A．Zaks，J-Y-Kim，J-K-Park等对拟Baer环作了系统的研究，在11t；~ItIJk，笔者引进分次拟Baer环的概念，得到(1)R=∈R是z一型正分次环，若R是弱分次Armendariz，分次Normal环，则R是拟Baer环当且仅当R是分次拟Baer；(2)若R是Armendariz环，则R是拟Baer环当且仅当z]是拟Baer．本文所及的环均指有单位元的结合环，未及概念、记号见[8]．为讨论方便，先给出几个概念．定义1[设(1)R一④R是z一型分次环．d=d一+d一

6、+1+⋯+do+d1+⋯+d，b—b一+b一；+l+⋯+b。+bl+⋯+6(其中d∈R—b∈R、一≤i≤，一≤J≤f)是R中任意两个齐次分解式，若ab一0当且仅当a,b，一o(一≤i≤，一≤J≤f)，则称z一型分次环R一@R是弱分次Armendariz环([9中称为分次Armendariz环)．定义2分次环R=QR，若，(z)=Ⅱ。上d，2121_⋯+dz，g(z)一b。+blsc+⋯6z∈R[]，其中口，b∈h(R)(这里h(R)表示R上的全体齐次元)，0≤i≤，0≤≤m，满足／)g()=0，有a,b一0，则称分次环R是分次Armendariz环．注1Armendariz

7、环是分次Armendariz环，分次Armendari~环是弱分次Armendariz环，但弱分次Armendariz环不一定是分次Armendariz环．ffⅡCll例R是环，sI【D6J；∈Rj，令s一一，s。s，s一一O(n≠。)，易证不是分次Armendariz环，但S是弱分次Armendariz环．对于环R上的分次与非分次多项式环R[z]，由[2]和[9]及上面的注记，有如下结论：定理1设R是环，R[z]是R上多项式环，其分次结构是自然的(前文所示)，则下列结论等价：(1)R是Armendariz环．(2