准经典运动 - 扬州大学

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1、固体物理讲稿5.5晶体中电子的准经典运动(书5.1)[重点准经典粒子准经典运动效质量张量m*难点有效质量张量m*]rrrr基础波粒二象性rpEωkψr(r).krrrrrr1r波包k±∆k,∆k<

2、e=−v=−∇rEk()hkedEk一维情况i=−hdk三.加速度1.以一维为例m*2dv1dEdk(1).由运动学=2kdthdkdtdk(2).由动力学求dt电子在外力F的作用下经dt时间能量变化为dE波矢变化为dkdEFdE由EE(k)dE=dk又dE=F⋅vdt=dtdkhdkFdkF∴dk=dt=hdth22dv1dEF1dE(3).加速度为=⋅=⋅F(1)222dthdkhhdk551固体物理讲稿rrrrFdkF2.三维可以证明dk=dt即=hdthrrrrr已知000E=E(k)=E(k,k,k);F=Fi+Fj+FkxyzxyzdkFββ记α,β=x,y,z有=dt

3、h2dk2dvαd1∂E1∂Eβ1∂E=(⋅)=∑⋅⋅=∑2⋅⋅Fβ(2)dtdth∂kαβh∂kα∂kβdtβh∂kα∂kβ四.有效质量m*1.引入(1).一维情况dv1与经典定律=⋅F比较得到电子的与质量的倒数相应的量为dtm221dE11dE定义电子的倒有效质量=2222hdkm*hdk221dE−1h则电子的有效质量m*=()=.222hdkdE2dk(2).三维情况rdv1r1由=⋅F定义电子的倒有效质量张量可用矩阵表示其分量dtm*m*211∂E为()=.αβ2m*h∂k∂kαβ1电子的有效质量m*一般是二阶张量m*和互为逆矩阵分量记为m*.αβm*1说明.一般情况对应

4、分量m*与()不是互为倒数.αβαβm*2∂E1.若=0,(α≠β)即对角化此时的m*也对角化其对角分量∂k∂km*αβ221∂E−1h为m*=()=αα222h∂k∂Eα2∂kα.若m*对角化且各对角分量都相等则张量m*化为标量2.一般应用rrdvr有了m*电子在外力作用下的运动方程为F=m*如电场为ε磁场dtrrrrrdv为B则电子的运动方程为−e(ε+v×B)=m*dt3.对m*的半定量分析可见一维情况的图552固体物理讲稿2dE带顶<0m*<02顶dk2dE带底>0m*>02底dk带中某处m*→±∞222hk1dE−1比较自由电子E=m*=()=m222mhdk4.晶体中m

5、*≠m的原因晶体中运动的电子不仅受外力的作用而且受晶格的作用而m*仅仅是根据外力作用所产生的结果等效出来的一种质量实际上m*中包含着晶格对电子的作用五.例题P.243简立方结构晶体的s态电子的能带为rE(k)=E−A−2J(coska+coska+coska)0xyz式中E0,A,J可视为正的常数求1.能带宽度r2.k态电子的速度3.在带顶和带底的电子的有效质量π解带顶k=k=k=带底k=k=k=0xyzxyza1E=E−A+6JE=E−A−6Jmax0min0故能带宽度为∆EEmaxEmin12Jr1r2v=∇rE(k)kh2aJ2aJ2aJv=sinka,v=sinka,v=s

6、inkaxxyyzzhhh2∂E3因在带顶﹑带底都有=0,(α≠β)(α,β=x,y,z),∂k∂kαβ21∂E−1故有效质量张量对角化对角分量按m*=(),计算如下αα22h∂kα22hh带顶m*=m*=m*=−化为标量m*=−xxyyzz2顶22aJ2aJ22hh带底m*=m*=m*=化为标量m*=.xxyyzz2底22aJ2aJ553固体物理讲稿作业P.5845.1补充题bcc结构晶体的s态电子的能带为rakakakxyzE(k)=E−A−8J(coscoscos)0222式中E0,A,J可视为正的常数求1.能带宽度r2.k态电子的速度3.在带顶和带底的电子的有效质量注1一维

7、波包的计算2π波包由以k0为中心,在∆k<<之内的波函数叠加而成,即a∆kk0+2i(kx−ωt)ψ(x,t)=u(x)edkk0∫k∆kk0−2dkNaNa说明dk与dk内的k数=dk相差一个常数该常数可并入ψ(x,t)2π2k0π2πNa的归一化因子中而不予考虑2πQ∆k<<,∴u(x)≈u(x)kk0adωdωω=ω(k)≈ω(k)+()(k−k)=ω+()(k−k)0k000k00dkdk令k=k+ξ,则0+∆k/2∆kdω2dωiξ[x−()0t]i[k0x