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《数学分析 第13章_多变量函数的连续性复习》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、多变量函数的极限与连续性主要知识点、结论、典型例题.1.nR中集合的基本概念和性质n定义1.1设ER⊂，A∈∃>Er,0,BAE()⊂，则A为E的内点。E的内点的集合记为r00E,若EE=，称E为开集。0定理1.1对于任何集合E，E为开集.定理1.2开集有如下运算性质：n1)R,∅为开集2)设{EI},α∈为开集，则∪E为开集,这里I为指标集合.ααα∈In3)设{E},in=1,2,...为开集，则∩E为开集。iii=1nCn定义1.2设ERERE⊂=,为E的补集。nCn由定义1.2，有∀⊂EREER,∪=。定理1.3假设α为指标集合,则下面结论成立.cc
2、⎛⎞cc⎛⎞1.⎜⎟∩∪EEα==αα;2.⎜⎟∪∩EEα⎝⎠αα⎝⎠ααnC定义1.3设ERE⊂,为开集，则称E为闭集。定理1.41)设{E},α∈I为闭集，则∩E为闭集。ααα∈In2)设{E},in=1,2,...为闭集，则∪E为闭集。iii=1∨nn⎛⎞定义1.4（聚点）ERAR⊂∈,,若对于任意r>0，总有Br⎜⎟A中有E中的点，则A为⎝⎠E的聚点。'定义1.5集合E的所有聚点的集合为导集,记为E.'定理1.6E为闭集的充分必要条件EE⊂。0nc定义1.6定义集合的外点和边界：点集合ER⊂，(E)中的点为E的外点，E的外点的全体为E的外部，既不是E的
3、外点，也不是E的内点，称为E的边界，记为∂E10nc0对于任何集合E，显然都有：R=∪EEE()∪∂定义1.7若非空的开集E是连通的,即E中任意两点之间可以有一条完全含于E的不间断曲线连接,则称E为开区域.定义1.8开区域连同边界所组成的区域为闭区域.典型例题例1：判断下列点集是开集，闭集，有界集，区域，导集，边界1)Ea=×[,bcd)[,);2)Ex=≠{}(),yxy0;3)Ex=={}(),yxy0;4)Ex={}(),yx,y均为整数;⎧⎫15)Ex==>⎨⎬(),yysin,x0⎩⎭x解:'1)即不是开集,也不是闭集,有界集,是区域,边界是矩形的四
4、条边.E=×[ab,,][cd];'22)E为开集,无界集,不是区域,ER=,边界xy=0,或者=0;'3)E不是开集,是闭集,无界集合,不是区域,EE=,边界∂EE=;'4)E不是开集,是闭集,E为空集,∂EE=;yox图2.3例1中4)的示意图5)E不是开集,不是闭集,无界,不是区域,21.511y=sinx0.50-0.5-1-1.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91图2.4例1中4)的示意图'⎧⎫1Ex==>⎨⎬(),syyin,x0∪{}()x,yx=0,−11≤y≤⎩⎭x⎧⎫1∂=Ex⎨⎬(),syy=in,x>0∪{}()
5、x,yx=−≤≤0,11y⎩⎭x§2nR中的点列的极限n定义2.1设ERrEB∈∃>⊂,0,(0),也即是E集合中的向量都属于B()0，则称集合rrE有界.n•定义2.2设AXRi,{}∈=,1,2,3,.......，若∀ε>∃>0,N0,NNmNXA∈,>,−<εimn则称{XRi}∈=,1,2,3,.......有极限，记limX=Aimm→∞定理2.1n1)若{XRi}∈=,1,2,3,.......的极限存在，则极限唯一in2)若{XRi}∈=,1,2,3,.......极限存在，则数列有界i3)若limX=A，limYB=，则lim(X±YA)=±
6、Bmmmmm→∞m→∞m→∞4)若limX=A，则limλX=λλAR,∈.mmm→∞m→∞n定理2.2若{XRi}∈=,1,2,3,.......，X==(xx,,.....xAaa),(,,.....a)，iii12iin12n则limX=A的充分必要条件limx==al,1,2,.....,n。millm→∞i→∞n定义2.3设{XRi}∈=,1,2,3,.......，∀ε>∃∀>0,NmkNXX,,,−<ε称imk3nn{XRii}∈=,1,2,3,.......为R中的基本列。n定理2.4(柯西收敛){XRi}∈=,1,2,3,.......收敛的
7、充分必要条件为此叙列为基本列。in定理2.5（Bolzano-Weierstrass）R中任何有界的序列都可以抽出收敛的子列.nn定义2.4假设ER⊂，如果E中的任何点列都有收敛的子列，则称E是R中一个列紧集。n定理3.5ER⊂为列紧集的充分必要条件是有界闭集。n下面我们讨论R集合的闭区间套和有限覆盖定理。n定理2.6假设En,=1,2,3,.......,,.....n是R中的非空闭集，并且满足下面条件：n1)EEn⊃=,1,2,3,.......,,.......nnn+12)dx=−supy,n=1,2,3,.......,,.......n，limd=
8、0nn∀∈xyE,n→∞n∞则∩E只含
