105012005094 庄晓榕

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1、2实数下限拓扑空间Rl及其积空间Rl的性质的探究数学与计算机科学学院数学与应用数学专业105012005094庄晓榕指导教师：吴健文【摘要】本文章主要是对实数空间R进行拓扑新构造，来研究半开闭实数下限拓扑空间(,Rℑ)的拓扑性质，除正规l2和Lindeloff等外，利用一些有限可积的性质，研究两个实数下限拓扑空间的积空间R的拓扑性质．l【关键词】实数下限拓扑；有限积空间；有限可积性质n在熊金城编著的《点集拓扑讲义》中很详细的探究了实数空间(,)Rℑ及其有限积空间R的拓扑性质，比如连通性，紧致性，可分性等．通常，一个拓扑空间是一个集合相对于

2、一个拓扑而言的，实数集合R也不例外．倘若对集合R构造新拓扑，这样的拓扑空间R有什么样的拓扑性质呢？对于其有限积n空间R，拓扑性质又有哪些不一样呢？本文章就是绕着这样的问题进行展开，将研究半开闭实数下限2空间R及其积空间R的的拓扑性质．ll1．实数下限拓扑空间(,)Rℑl对于实数空间R的拓扑性质已被大家熟知，在这一节中，笔者对于实数集合R，令[1]BR=[,)

3、,{abab∈<,ab}为它的某一个拓扑ℑl的基，根据例2.6.1，称拓扑空间(,)Rℑl为实数下限拓扑空间．首先将R的拓扑ℑ的元素确定出来，利用不连通的四个等价定理，确定R的连通性

4、，然后确定lll它的可分性，分离性以及紧致性．1.1R区间中的开集和闭集l[2]定理1.1.1设X是一个集合，B是集合X的一个子集族（即B⊂PX()）．如果B满足条件：（1）UBX=；B∈Β（2）如果B，B∈B，则对于任何x∈BIB，存在B∈B使得x∈B⊂BBI，121212则X的子集族ℑ={

5、UX⊂存在ΒΒU⊂使得U=UB}是集合X的唯一的一个以B为基的拓扑，B∈ΒU反之，如果X的一个子集族B是X的某一个拓扑的基，则B一定满足（1）和（2）．现在应用这个定理，根据实数下限拓扑空间(,)Rℑ的基，确定拓扑ℑ．ll记实数空间R的通常拓扑为ℑ

6、，对于每一个开区间(,)ab⊂R，其中ab,,∈

7、，这是因为对∀xa∈+[,)∞，∃B∈B，满足Ba⊂+[,)∞；然而区lxx间[,ab]不是R的一个开集，因为对于bab∈[,]而言，bB∈，B⊂[,]ab不成立．类似地，右闭区间lbb(,]ab，(,−∞a]都不是R的开集．l[3]'定理1.1.2设X是一个拓扑空间，A⊂X，则A是一个闭集当且仅当A的补集A是一个开集．例1.1.2实数下限拓扑空间(,Rℑ)作为闭集的区间．l设ab,,∈

8、[,b+∞)都是闭集，(,−∞+∞)更显然l是一个闭集．开区间(,)ab不是闭集，因为a是(,)ab的一个凝聚点，但aab∉(,)，同理区间(,]ab，(,a+∞)都不是闭集．另外，R的单点集也是闭集，这将在1.4节R的公理性中得到证明．ll1.2连通性上一小节清楚地了解了实数下限拓扑空间R区间中的开集和闭集,这与实数空间R有较大的出l入．对于连通性，众所周知，实数空间R是一个连通空间，通过改造新拓扑后的拓扑空间R的连通性l有哪些变化呢，本小节将进一步探究．[4]定理1.2.1设X是一个拓扑空间，X中存在一个既开又闭的非空真子集，则X是一

9、个不连通空间．由于在R中，区间[,a+∞)(a∈R)既是开区间，又是闭区间，显然根据定理1.2.1可知R是不连ll通空间．定理1.2.2设E是实数下限拓扑空间(,Rℑ)的一个区间，则E是一个不连通子集．l证由于区间(,)ab，(,)a+∞，(,−∞a)同胚于R，所以这些区间都是不连通子集；l对于区间[,ab)，存在dacbfabcdf<<<<,,,,,∈R，显然cab∈[,)；若令2A==[,)[,)[,),[,)[,)[,)dcIIabacBcf==abcb，显然，A，B是区间[,ab)的两个非空开集，另外ABabU=[,)且ABI=∅

10、，根据定理1.2.1，可知区间[,ab)是不连通子集．同理，可以证明(,−∞a]，(,]ab，[,ab]和[,b+∞)是不连通子集，从而定理得证．从定理1.2.2可知，∀∈xRl，对任意包含x