一类推广的肌型血管生物数学模型的周期解

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1、http://www.paper.edu.cn1一类推广的肌型血管生物数学模型的周期解侯晓君，杨晓忠华北电力大学数理学院，北京（102206）E-mail：houxiaojun72@163.com摘要：首先推广了肌型血管的生物数学模型，然后通过构造一个新函数的方法证明了推广23后的肌型血管的生物数学模型"x"+εrx"−Ax+εrx+γx+εC=εEcosωt至少存在一个122π的周期解。ω关键词：肌型血管；生物数学模型；周期解中图分类号：65M12文献标识码：A1引言在研究心肌梗塞的病理中，很多医学家认为动脉粥样硬化及动脉痉挛是导致发病的共同[1]原因，文献[1]导出了肌型血管

2、含集中参数的力学模型为：⎡3⎤2dδR1R0R0P0=h−⎢2+2⎥δP−2δR，(1)dt⎢⎣2πLR016µL⎥⎦4πL4P−PπPRab00h=−，28µLδ=R−R，δ=P−P，R0P0dδdδPR=ϕ(δ,δ)+K，(2)RPdtdt其中δ<

3、课题得到河北省自然科学基金（A2007001027）的资助。-1-http://www.paper.edu.cn⎧32dδR⎡1R0⎤R0P0⎪=h−⎢2+2⎥δp−2δR⎪dt⎣2πLR016µL⎦4πL⎨2(3)⎪dδpβδRdδR=−δ(1−)−βδ+K,Rp⎪dtαδδdt⎩R1R2引入无量纲变量x,y,τ，其中x为无量纲血管内径的变化差，y为无量纲血管内的压力差，1**Kα令δ=xδ,δ=yδ,t=tτ,t=，则(3)式变为：RR1pR1αβ⎧32*dxK⎡1R⎤kαR0P0th⎪=−⎢2+2⎥y−⋅2x+⎪dτβ⎣2πLR016µL⎦β4πLδR1⎨⎡δ⎤(4)dyR

4、dx⎪=Kα−x(1−x)(1+1x)−y+Kα.⎢⎥⎪⎩dτ⎢⎣δR2⎥⎦dτ32K⎡1R⎤KαR0P0h为方便，记Kα=λ，⎢2+2⎥=b,⋅2=c，=d，那么(4)β⎣2πLR016µL⎦β4πLβδR1式就变为⎧dx=−by−cx+λd⎪⎪dτ⎨dyδR12δR13dx(5)⎪=λ(−x+(1−)x+x−y)+λ.⎪dτδRδRdτ⎩22由此可有d2xdxδ232R1=(bλ−cλ)x−λb(1−k)x−bλkx−(λ+λb+c)+λd,其中k=.2dτdτδR22假设λb−λc=A，λ+λb+λc=εr1，λbk=γ，bλ(1−k)=εr2，λd=εC，并将τ改为t，再

5、加上扰动项p(t)=εEcosωt（其生理学意义可解释为血管受到某种周期性刺激），即可得到一类新的肌型血管生物数学模型为23"x"+εrx"−Ax+εrx+γx+εC=εEcosωt,(6)12依据参数的医学意义，A,C,γ,E,ω,ε,r,r均为正常数。123新模型的周期解的存在性23为方便，记F(x")=εrx"，g(x)=−Ax+εrx+γx+εC，p(t)=εEcosωt.12则方程(6)可写为："x"+F(x")+g(x)=p(t)(7)方程(7)显然具有以下三条性质：①g(x)是连续的，且当x→∞，g(x)sgnx→∞，②F(y)连续，且当y→∞，F(y)sgnx→∞

6、，2π③p(t+)=p(t)，即p(t)是连续的周期函数。ω-2-http://www.paper.edu.cn2π定理1方程(6)至少有一个周期为的周期解。ω为证明定理1，需要先介绍一些引理。为简化叙述，先做一些规定：1)函数V(t,x)具有性质A：即存在一个正的连续增函数a(r)，使得V(t,x)≤a(x)。2)函数V(t,x)具有性质B：即存在一个非负的连续增函数b(r)，使得b(x)≤V(t,x)，且limb(r)=∞。r→∞dV3）函数V(t,x)具有性质C：即存在一个正的连续函数c(r)，使得≤−c(x)。dt引理1考虑dx=X(t,x)(8)dt∗如果存在一个正函数

7、V(t,x)，它在乘积空间∆：I(0≤t<∞)×E(x≥R)内定义，且R00dV∂V∂V具有性质A和B，又假定在∆内满足=+X(t,x)≤0，则(8)的解是一致有dt∂t∂x(8)界的。证明：根据性质A知道，任给一个α>0(α≥R)，当x=α时，有V(t,x)≤a(α)，0由于函数V(t,x)具有性质A和B，故存在两个正连续的增函数a(r),b(r)，使得b(x)≤V(t,x)≤a(x)，且limb(r)=∞.r→∞因此根据性质B，可以选取β，使得当x=β时，b(β)>a(α).