最优化方法20114new

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1、最优化方法最优化方法——高斯牛顿算法优化理论•优化理论是以数量分析为基础，以寻找具有确定的资源、技术约束的系统最大限度地满足特定活动目标要求的方案为目的，帮助决策者或决策计算机构对其所控制的活动进行实现优化决策的应用性理论。优化理论•优化理论的主要分支结构为：线性规划整数规划目标规划非线性规划动态规划随机规划最优化问题•最优化理论与算法是一个重要的数学分支，它所研究的问题是讨论在众多的方案中什么样的方案最优以及怎样找出最优方案，它是一门应用广泛使用性强的学科。最优化问题•最优化问题数学模型的一般形式为：

2、�⎧opt:z=f(x)⎪�⎨s.t.:ci(x)=0,i=1,2,..,m⎪�c(x)≥0,i=m+1,m+2,...,p⎩i非线性最小二乘问题�n设f(x)为x∈R的非线性函数，令i���Tf(x)=(f(x),...,f(x))1m��f(x)为x的向量值函数，则m�2���T�2S(x)=∑fi(x)=f(x)f(x)=f(x)2i=1为平方和函数。�无约束极小值问题minS(x)叫做非线性最小二乘问nx∈R题。G-N法�1�2对于极小值问题：minS(x)=f(x)n2x∈R2G-N方法按如下

3、公式进行迭代计算：����给定初值x0，令k=0,1,...,kxk+1max=xk计+pk算�T−1�，p=−(AA)∇S(x)kkkk其中，��∂f(x)iAk=Df(xk)=[�]x�=x�(i=1,2,..,m;j=1,2,...,n)∂xkj�T∇S(x)=AfkkkG-N法步骤�•1、给出初始点x及指定精度ε1,ε2,ε30•2、置k=0;��•3、计算fk=f(xk),Sk=S(xk)T•4、计算AkAk及��∂f(x)iA=Df(x)=[�]��(i=1,2,...,m;j=1,2,..

4、.,n)kkx=xk∂x��Tj•5、计算g=∇S(x)=AfkkkkT��•6、解方程Af∆x=−g�kk�k�k•7、计算x=x+∆xk+1k�k�•8、计算f=f(x),S=S(x)k+1k+1k+1k+1G-N法步骤•9、检查H-终止准则�若满足，则输出xk+1,Sk+1，停��止计算；k=k+1,x=x,S=S,kk+1kk+1否则转到3H-终止准则��•设已算出xk,xk+1,fk,fk+1•1、给定ε,ε,ε123�•2、检查∇f(x)<ε？k+13是，转3；否，返回主程序进行下一次迭�代

5、p=xk•3、令p<ε1•4、检查？p=pε是，p=1，转5；否，返回进行下一次2迭代•5、令H-终止准则��•6、检查x−x

6、mr)(x-x)-rmsincos]⋅θφxj5jj0j4πrj�1��2H=[3(mr)(y-y)-rmsinsin]⋅θφyj5jj0j4πrj�1��2H=[3(mr)(z-z)-rmcos]⋅θzj5jj0j4πrj�x=(m,,,θφxyz,,)000假设•假设磁源参量2m=1A⋅m,θ=π/2rad,φ=π/6rad,x=0.5m,y=0.5m,z=1.5m000求解•求解步骤�•1、初始x=(30,π/3,π/3,0.1,0.1,0.5)0化，ε=1.0e−8,ε=1.0e−8,ε=1.0

7、e−8指定精度123��f=f(x),S=S(x)kkkk•2、k=0;�T�Ak=Df�(xk)AkAk•3、计算g=∇S(x)=ATfT��kkkkAf∆x=−g���kkkk•4、计算及x=x+α⋅∆xk+1k�kk�•5、计算f=f(x),S=S(x)，并解方程k+1k+1k+1k+1•6、计算•7、计算求解•8、检查H-终止准则�若满足，则输出xk+1,Sk+1，停止计算；��否则k=k+1,xk=xk+1,Sk=Sk+1,转到3。αk的确定：−5•1、令αk=1,β=10����T�Sx(+

8、α⋅p)≤Sx()2+⋅⋅βα⋅p⋅g•2、检查kkkkkkk���是，令xk+1=xk+αk⋅pk，转7；αk否，置α=,转2。k2定理�•定理：设S(xk)为可微的严格凸函数，则对于β∈(0,1)的每一个值，总存在一个区间(0,α),使下式成立：����T�Sx(+α⋅p)≤Sx()2+⋅⋅⋅βαp⋅gkkkkk��其中，pk=∆xk为下降方向。凸函数和凸集n1•凸函数：设Sf:S⊂R→R,是一个凸集，��若对于λ∈(0,1),∀x,x