高等数学7.1微分方程的基本概念

《高等数学7.1微分方程的基本概念》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第七章常微分方程§1.微分方程的基本概念一、问题的提出二、微分方程的定义一、问题的提出例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.解所求曲线为yyx()dy2;xx1,y2dx2y2,xdxyxC,C1,2所求曲线方程为yx1.例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,2当制动时列车获得加速度4.0米/秒,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解设制动后t秒后行驶s米sst()2ds20.4t

2、0,s0,v20,dtds2v0.4tC,s0.2tC12tCdt1代入条件后知C20,C012例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,2当制动时列车获得加速度4.0米/秒,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？2代入条件后知CC1220,0;s0.2tC12tCdsdsv0.4t20,v0.4tC1dtdts0.2tt220,列车完全停住时v020开始制动到列车完全停住共需t50(秒),0.4列车在这段时间

3、内行驶了s20.2502050500(米).二、微分方程的定义微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.x例yxy,y2y3ye,z2(tx)dtxdx,0xy,x实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义分类1:常微分方程,偏微分方程.zyxy,xy,x微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数分类2:一阶微分方程F(x,y,y),0yf(x,y);(n)高阶(n)微分方程F

4、(x,y,y,,y),0(n)(n)1yf(x,y,y,,y).二、微分方程的定义分类1:常微分方程,偏微分方程.分类2:一阶微分方程高阶(n)微分方程分类3:线性与非线性微分方程.2yP(x)yQ(x),x(y)2yyx;0分类4:单个微分方程与微分方程组.dy3y2z,dxdz2yz,dx三、主要问题-----求方程的解微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数设y()x在区间I上有n阶导数(n)F(x,(x),(x),,(x)).0微

5、分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.三、主要问题-----求方程的解微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.x例yy,通解yCe;yy,0通解yCxCx12sincos;(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定通解中的任意常数的条件.(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数

6、相同.(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.初始条件:用来确定通解中的任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.yf(x,y)一阶:过定点的积分曲线;yyxx00yf(x,y,y)二阶:yy,yyxx00xx00过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.例3验证:函数xCcosktCsinkt是微分方程122dxk2x0的解.并求满足初始条件xA,2t0dtdx0的特解.dtt0dx解kCsinktkCcoskt,dt12

7、2dx22kCcosktkCsinkt,212dt2dx将和x的表达式带入方程，2dt22kC(cosktCsin)(cktkCosktCsin)kt0.1212例3验证:函数xCcosktCsinkt是微分方程122dxk2x0的解.并求满足初始条件xA,2t0dtdx0的特解.dtt022k(CcosktCsinkt)k(CcosktCsinkt).01212xCcosktCsinkt是原方程的解12dxxA,,0C1A,C2.0t0dtt0所

8、求特解为xAcoskt.例3验证:函数xCcosktCsinkt是微分方程122dxk2x0的解.并求满足初始条件xA,2t0dtdx0的特解.dtt0补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分(通解可用初等函数或积分表示出来)要点本节基本概念：微分方程；微分方程的解；微分方程的阶；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．Chapt3:微分中值定理．链