数学强化班讲义——高等数学(数三)

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1、第一讲函数、极限、连续考点总结：1.复合函数2.函数的极限3.数列的极限4.无穷小的阶5.间断点类型考点解读：一、极限的基本概念及运算（一）极限的定义与性质1、定义：定义1：对于数列{}a,设A为一个常数，若∀ε>0,∃N,使当n>N时，有n

2、

3、aA−<ε，则称在n→∞时，{a}以A为极限，记作lima=Annnx→∞定义2：对于函数y=f(x)，设A为一个常数，若∀ε>0，∃X，使当x>X时，有

4、()

5、fxA−<ε，则称limf(x)=Ax→+∞定义3：对于函数y=f(x)，设A为一个常数，若∀ε>0，∃X，使当x

6、(

7、)

8、fxA−<ε，则称limf(x)=Ax→−∞定义4：对于函数y=f(x)，设A为一个常数，若∀ε>0，∃X，使当

9、x

10、>X时，22有

11、()

12、fxA−<ε，则称limf(x)=Ax→∞定义5：对于函数y=f(x)，设A为一个常数，若∀ε>0，∃δ>0，使当0<

13、x−x

14、<δ时，有

15、()

16、fxA−<ε，则称limf(x)=A0x→x0定义6：对于函数y=f(x)，设A为一个常数，若∀ε>0，∃δ>0，使当x∈(x,x+δ)时，有

17、()

18、fxA−<ε，则称lim()fxA=00+xx−0定义7：对于函数y=f(x)，设A为一个常数，若

19、∀ε>0，∃δ>0，使当x∈(x−δ，x)时，有

20、()

21、fxA−<ε，则称limf(x)=A00x−x0−结论：limf(x)=A成立的充要条件是：limf(x)=A且limf(x)=Ax→∞x→+∞x→−∞limf(x)=A成立的充要条件是：limf(x)=A且limf(x)=Ax→x0x−x0−x−x0+注：常见需要讨论左右极限的函数1①limex,limexx→∞x→011②limarctanx,limarccotx,limarctan,limarccotx→∞x→∞x→0xx→0x2③limx(x+1−x)x→∞④[x]⑤函

22、数的分段点2.数列与函数的极限关系（1）n→x（2）若limf(x)=A，则对任意数列x，只要limx=x(∞)⇒limf(x)=Ann0nx→x0n→∞n→∞x→∞n11【例】①limn,②limsinn→∞x→0xx3.极限的性质（1）唯一性定理：若lim()fx存在，则其极限值唯一。x→[]（2）局部保号性定理：若limf(x)=A>0，则f(x)>0在局部成立(<)(<0)x→[]推论：若lim()fx存在，且f(x)≥0在局部成立，则⋅lim()fx≥0.(≤0)()≤x→[]x→[]（3）局部有界性定理：若lim()fx存

23、在，则f(x)在局部有界。x→[]总结：+（1）设limf(x)存在，则∃δ>0，当−δ0，当x>X时，f(x)有界。x→∞（3）设limf(x)=∞，则f(x)在[]的去心邻域内无界，但其逆不成立.x→[]（4）设f(x)在[a,b]连续，则f(x)有界（5）有界+有界=有界，有界×有界=有界，有界+无穷大量=无穷大【例】下列函数中，在区间[1,+∞)内无界的是2212lnx（A）f(x)=xsin（B）f(x)=sinx+2x

24、x1arctan2−xx（C）f(x)=xcosx+xe（D）f(x)=2x（二）极限的四则运算若lim()fxAgxB==,lim(),则lim[()fxgxAB±()]=±xx→→[][]x→[]f()xAlim[()()]fxgxAB⋅=⋅，lim[]=，其中B=/0x→[]x→[]gx()B记忆：在有意义的前提下，和差积商的极限等于极限的和差积商。推论：①若lim()fx与lim[()fxgx±()]均存在，则limg(x)存在x→[]x→[]x−.[]②若lim()fx与lim[()()]fxgx⋅均存在，且lim()fx=

25、/0则limg(x)存在x→[]x→[]x→[]x−.[]注：①若lim()fx存在，limg(x)不存在，则lim[()fxgx±()]一定不存在x→[]x−.[]x→[]②若limf(x)与limg(x)均不存在，则lim[()fxgx±()]可能存在也可能不存在x→口x−.[]x→[]③若limf(x)与lim[()()]fxgx⋅均存在，且lim()fx=0则limg(x)未必存在x→口x→[]x→[]x−.[]axbxe−e【练习】lim(a≠b)x→0sinax−sinbx【判断】（1）若limf(x)存在，limg(x)

26、不存在，则lim[f(x)+g(x)]不存在。x→x0x→x0x→x0（2）若limf(x)不存在，limg(x)不存在，则lim[f(x)+g(x)]不存在。x→x0x→x0x→x0（3）若limf(x)存在，limg