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1、第24卷第5期模糊系统与数学Vol.24,No.52010年10月FuzzySystemsandMathematicsOct.,2010文章编号:1001-7402(2010)05-0001-07计量逻辑学中的近似推理1,21,3韩邦合,李永明(1.陕西师范大学数学与信息科学学院,陕西西安710062;2.西安电子科技大学理学院数科系,陕西西安710162;3.陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安710062)摘要:在多值逻辑系统中给出了计量逻辑学中单个公式到结论集的距离公式,在此基础上,给出发散度的简化形式,讨论了计量逻辑学中三种近似推理模式之间的关系。关键词:真度;相
2、似度;伪度量;发散度;计量逻辑学;近似推理中图分类号:O141文献标识码:A1引言众所周知,数理逻辑是以符号化为特点的形式化理论,它注重形式推理而不重视数值计算。与此相反,数值计算的目的则在于借助各种计算手段,采用插值、迭代、差分或概率估算方法研究各类计算问题,它关注问题的求解以及误差估算而很少使用形式推理方法。王国俊教授将数值逻辑与概率计算相[1-3]结合,提出了一个新的研究分支计量逻辑学。其主要内容为:在多值逻辑系统中提出了公式的真度概念。基于此,提出了公式间的相似度与伪度量,研究了所得逻辑度量空间的基本性质,提出并研究了逻辑理论的发散度与相容度概念,给出了三种近似推理模
3、式。[1],[2],[3]中提出了以下几个问题:(1)如何刻画单个公式到结论集的距离?(2)当无限时,如何计算理论的发散度?(3)计量逻辑学中三种近似推理模式之间的关系是什么?文献[12]在二值情形下指出了问题(3)的解。本文在更一般的多值逻辑系统中解决以上这些问题。下面首先给出本文需要的预备知识。2预备知识设F(S)是全体命题(公式)之集,即F(S)是由原子公式之集S生成的(,∨,→)型自由代数,A12=A(p1,p2,…,pm)是含有m个原子公式p1,…,pm的公式。赋值域W=Wn={0,,,…,n-1n-1n-2,1}。分别用x1,…,xm取代p1,…,pm,并
4、把A中的逻辑连接词,∨,→换为W中的运算,∨,n-1-m-→,则得一m元函数A(x1,…,xm):W→W,称A为A所诱导的函数。W中的,∨运算为线性补和取大运算,→取决于我们所考虑的n值逻辑系统。在Lukasiewiczn值逻辑系统Ln和R0型n值逻辑系统收稿日期:2009-04-30;修订日期:2009-06-15基金项目:国家自然科学基金资助项目(60873119);博士学科点专项基金资助项目(20080718000)作者简介:韩邦合(1981-),男,博士研究生,研究方向:计算智能,软约束与赋值代数,不确定性推理;李永明(1966-),男,教授,博士生导师,研究
5、方向:非经典计算理论,计算智能,模糊系统分析,量子逻辑与量子计算,格上拓扑学。2模糊系统与数学2010年*Ln中,→分别为Lukasiewicz蕴涵算子→L和R0蕴涵算子→0.这里a,b∈[0,1],a→Lb=(1-a+b)∧1;a≤b时,a→0b=1,否则a→0b=(1-a)∨b.[1]-定义2.1设A=A(p1,p2,…,pm)是含有m个原子公式p1,…,pm的公式,A(x1,…,xm)为A所诱导的函数,令n-11i--1in(A)=m∑A()ni=1n-1n-1这里,E表示集合E中元素的个数,称n(A)为公式A在n值逻辑系统中的真度。[1]定义2.2设A,
6、B∈F(S),令(A,B)=n((A→B)∧(B→A))称(A,B)为A与B之间的相似度。设:F(S)×F(S)→[0,1]是相似度函数,令(A,B)=1-(A,B),A,B∈F(S)由[1]可知是F(S)上的伪度量,称(F(S),)为逻辑度量空间。[1]定义2.3设是F(S)中的理论,即F(S),令div()=sup{(A,B)A,B∈D()}称div()为的发散度。[1]定理2.1设A,B,C∈F(S),则以下性质成立:(i)n(A∨B)=n(A)+n(B)-n(A∧B);(ii)若A→B,则n(A)≤n(B);(iii)在
7、Lukasiewiczn值逻辑系统中,(A,B)=n(A∨B)-n(A∧B)。证明(iii)不妨设A和B中都含有m个原子公式p1,p2,…,pm,以下记A∨B,A∧B,m[1-2](A→B)∧(B→A)分别为A∨B、A∧B、(A→B)∧(B→A)在[0,1]上诱导的阶梯函数。m分别把[0,1]、dy1…dym简记为和dw,则由文献[1]、文献[2]可知n((A→B)∧(B→A))=∫(A→B)∧(B→A)dw,n(A∨B)=A∨Bdw,n(A∧B)=A∧Bdw.容易验证∫∫1-(a→
