数学物理方程第二版(谷超豪)前三章习题答案

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1、第一章．波动方程2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。§1方程的导出。定解条件解：(1)杆的两端被固定在x0,xl两点则相应的边界条件为1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程u(0,t)0,u(l,t)0.uuu(2)若xl为自由端，则杆在xl的张力T(l,t)

2、E(x)

3、xl等于零，因此相应的边xExttxxu界条件为

4、=0xlx其中为杆的密度，E为杨氏模量。u同理，若x0为自由端，则相应的边界条件为∣0x0证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为x与xx。现在计算这段杆在时x刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：(3)若xl端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移xu(x,t);xxu(xx,t)由函数v(t)给出，则在xl端支承的伸长为u(l,

5、t)v(t)。由虎克定律有[xxu(xx,t)][xu(x,t)]xu其相对伸长等于u(xx,t)E∣k[u(l,t)v(t)]xxlxx其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件令x0，取极限得在点x的相对伸长为u(x,t)。由虎克定律，张力T(x,t)等于xuk(u)∣f(t)其中xlxET(x,t)E(x)ux(x,t)特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)0,得边界条件其中E(x)是在点x的杨氏模量。u(u)∣0。xlx设杆的

6、横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,xx)两端的力分别为同理，若x0端固定在弹性支承上，则得边界条件uE(x)S(x)ux(x,t);E(xx)S(xx)ux(xx,t).E∣x0k[u(0,t)v(t)]xu于是得运动方程(x)s(x)xutt(x,t)ESux(xx)

7、xxESux(x)

8、x即(u)∣x0f(t).x利用微分中值定理，消去x，再令x0得2x2ux2u3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为E[(1)](1)(

9、x)s(x)utt(ESu)xhxht2xx其中h为圆锥的高(如图1)若s(x)常量，则得证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x点处截面的半径l为：2uu(x)=(E(x))xt2xxl1h即得所证。1x21所以截面积s(x)(1)。利用第1题，得222h证：函数u(x,y,t)在锥txy>0内对变量x,y,t有222txy2x2ux2u(x)(1)[E(1)]3ht2xhxu2222二阶连续偏导数。且(txy)tt若E(

10、x)E为常量，则得352u2222222222(txy)3(txy)tE[(1x)2u](1x)2ut22xhxht34.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，2222222(txy)(2txy)试导出此线的微小横振动方程。3解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为，则x点处的张力T(x)为u222(txy)2xxT(x)g(lx)235u2222222txy23txy

11、2x且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴2x5方向的位移，取弦段(x,xx),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为222222txy2t2xy25g(lx)sin(x);g(l(xx))sin(xx)u222222同理txy2tx2yy2其中(x)表示T(x)方向与x轴的夹角2252uu222222uu所以txy22txy.又sintgx

12、2y2t2x.于是得运动方程即得所证。6.在单性杆纵振动时,若考虑摩阻的影响,并设摩阻力密度涵数(即单位质量所受的摩阻力)2uuux[l(xx)]∣g[lx]∣g与杆件在该点的速度大小成正比(比例系数设为b),但方向相反,试导出这时位移函数所满足的微2xxxtxx分方程.利用微分中值定理，消去x，再令x0得解:利用第1题的推导,由题意知此时尚须考虑杆段