电多极矩法的研究和探讨

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1、第28卷第3期上饶师范学院学报V01．28，No．32008年6月JOURNALOFSHANCRAONORMALCOLLECEJun．2008电多极矩法的研究和探讨吴波(上饶师范学院，江西上饶334001)摘要：电多极矩法是处理静电场问题的一种简单而实用的方法。本文从电多极矩法的物理图像、电多极矩法的数学证明、简单电荷体系电偶极矩和电四极矩的计算、电四极矩张量的无迹化处理、如何运用电多极矩法计算电荷体系在远处的电势等方面进行了研究和探讨。关键词：电多极矩法；电偶极矩；电四极矩中图分类号：0441．1文献标识码：A文

2、章编号：1004—2237(2008)∞一0020一061电多极矩法的物理图像由普通物理知识我们知道，点电荷Q(电单极子，电20极子)的电势为∥=蒜一1．电偶极子；(电偶极子，电21极子)的电势为≯1L4砜p．1R3t∞话1其中；=QT称为电偶极矩。由两个大小相等、方向相反的电偶极子构成电Igt极子(电22极子)，其电势可以猜想为铲’oc毒我们甚至还可猜想电八极子(电23极子)的电势为午。k壶等等。那么，电多极矩法的物理图像是什么呢?我们先考虑处在。X，点的点电荷Q在远处的电势。收稿日期：2008—04—13作者简

3、介：吴波(1959一)，男，江西丰城人，副教授，主要从事基础物理教学和研究。第3期吴波：电多极矩法的研究和探讨21PQoOP0亭●一4图1电多极矩法的物理图像由图l可知，一个处在x’处的点电荷Q的电势。，=处于原点处的点电荷Q的电势+处于鲁处电偶极子的电势』；==’=处于原点处的点电荷Q的电势+处于原点处电偶极子的电势+处于寺处电四极子的电势=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．由于任意带电体系可以看成是许多点电荷组成，根据电势的叠加原理，上述结论对任意带电体系也成立。这就是电多极矩法的物理图像。2电多

4、极矩法的数学推导X午(专)=J国4nr：or“’(1)图2电势的多极展开y丝上饶师范学院学报2008(，第28卷)——————————————————————————————————————一：=：：：兰：设电荷分布在很小的范围内，也就是说，我们考虑远处的电势，则有Ii，I<

5、吉)+寺妄7；叼V(i1)一。将上式代入(1)式有甲(小瓦1』vP(引【i1一Nz∑。x／i毒(击)+刍秘x，j南(击)叫“，=去』“动【百1矗。Vil+者茹叼v(i1)一·dr，令Q=』，P(：’)dV’，称为带电体系的总电量；=』vp(；7)专7dV7，或写成分量式pi=f，o(i’x'idV’，称为带电体系的电偶极矩矢量，一般情况下它有3～D=fv3P(；7)；7i7dv7，或写成分量式DⅡ=f，30G7)x'ix'jdv，，称为带电体系的电四极矩张量，一般情况Fg'有-9个分量，由于它是对称张量，郎‰=Dj

6、；，所以，它最多只有6个独立的分量。因此有甲(沁去睽枷哥3i1)+吉渺鑫(击)+．．．】=去【景一亩·Vil+-gho一：Vvil一·】=俨’+≯1)+≯2)+⋯其中∥=4卫zm．oR∞iI(2)这是处于原点处点电荷Q的电势，即相当于把带电体系所有的电荷集中在原点的点电荷的电势。9n’=去洳麦(击)(3)=一去；’VilP·R1。五藕箧一1t2这是处于原点处体系的等效电偶极矩；的电势。∥2)=瓦1。吉渺基(击)(4)=去。一6kD：VV百1篮雨1这是处于原点处体系的等效电四极矩苜的电势。由此可见，数学上的推导与直观

7、的物理图像是一致的．第3期吴波：电多极矩法的研究和探讨23自z}===!≈={；=；≈自=；===========；=========≈==≈=22一：一3各级电多极矩及其势的简单讨论3．1电偶极矩①关于原点对称的电荷体系其电偶极矩为零。证·．’P(i’)=p(一；’)‘．·．；’=』，P(苌’)；7dV’=f，P(一；7)(一主，)dV，：一f，P(；，)专，dV，；一；因此只有；=0②一个只有电偶极矩的电荷体系的实例P+Q—QO—Q图3只有电偶极矩的电荷体系图4只有电四极矩的电荷体系显然i只有z分量，即Px=o

8、，py=0，Pz=Q寺4-(一Q)(一号)=Ql由公式(3)得出其电势为、以一志n芝(击)=，丽pzz=器(．．’Vil=一弦．乏(击)=一毒)上述结果也可用直观的方法予以验证。∥k∥∞堆(o)=最(毒_吉)=蔷·警*老·譬=黜3．2电四极矩①电四极矩张量是对称张量，即D《=Dji，因此，它最多只有6个独立的分量。②一个只有电四极矩的电荷体系的实例显然百只有