浅析数学分析中的反例new

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1、万方数据第25卷第8期2009年8月赤峰学院学报(自然科学版)JournalofChifengUniversity(NaturalScienceEdition)VoL25No．8Aug．2009浅析数学分析中的反例刘荣辉，王彦(大庆师范学院数学系，黑龙江大庆1637123)摘要：主要论述了反例在数学分析中的作用，如能够加强学生对基本概念、定理的理解和掌握，能够打破习惯的思维定势，能够促进思考扩大知识面．同时还论述了反例的几个构造方法．关键词：数学分析；极限；连续；导数中图分类号：017文献标识码：A文章编号：1

2、673—260X(2009)08—0014—02在数学中，对一个命题的正确性，须要经过严格的证明，但要证明一个命题为假，只要举出一个反例即可．所谓反例，通常是指用来说明某个命题不成立的例子，也称为与命题相矛盾的特例，它是用已知为真的事实去揭示另一判断的虚假性．数学分析是数学专业的一门重要基础课，概念定理比较多，许多学生不能准确掌握概念的本质，无法正确运用数学分析中的有关概念和定理来分析问题解决问题．因此，在学习中如果能恰当地使用反例来帮助我们理解知识，不仅是一种有效的方法，也是一种必要的手段．下面我们主要从反例

3、的作用和反例的构造两个方面来进行探讨．1反例在数学分析中的作用1．1反例能帮助学生更好地理解概念，纠正对概念的错误认识这里我们只举个简单的例子：对于liraf(x)=A，它的定义是对任意的8>0，当f、00，V8>0，当0

4、≠l，r气这就是使用极限的定义不严格的反例，通过此例让学生顿悟，凭主观想象去代替严格定义会导致错误．1．2反例有助于学生加强对定理的理解和掌握在数学分析中，很多定理是充分而非必要的，在说明其逆命题是否成立时，如果考虑一般情况很难说明，如果能举一些“反例”，则结论即可得出．一14一例1若lim铲a，则limlaJ=lal，逆命题是否成立，可分两种情况证明：1)当a=0逆命题成立，易证．2)当a#O时，逆命题不成立，这可以由数列((一1)n】这个例子说明事实上，limI(-1)“I=1，而lim(_1)“不存在例2

5、定理：若函数f∞在a连续，则函数If(x)在a也连续．要说明其逆命题是否成立，可以以函数f(x)=E：。删即If(x)l=l在x--O处连续，而f(x)在x=O处不连续1．3反例是克服思维定势的有力手段微积分创建初始，数学界曾长期错误认为：“连续函数除了个别点外总是处处可导．”但是1872年德国数学家Weiestrass构造了一个“处处连续却处处不可导的函数”f∞=艺bncos(a啊x)其中b是奇整数，0l+孚，这一反例震惊了数学界，给了思维定势传统观念致命一击．在学习中，学生在教师习惯性程序影

6、响下容易形成固定的思维模式，即定势．这些定势和习惯会产生“墨守成规”、“机械记忆”、等等负面效应，容易形成思维碍障，而反例恰恰能解决这一弊端．学生学完洛必达法则后认为符合条件的求极限问题都能用洛必达法则求解，我们可以举下面的反例来打破这一定势．万方数据例f(x)=VT4-；r，g(x)---x，limf(x)=+∞li⋯mg(x)=+∞，f．(x)=_叁亍，g’(x)=l≠or”。V1+】【‘所以熙器=熙萼之=熙、V／l+}=l一+∞g例一+∞x一伸r茎但是，器=平=赤仍是不等式，再用洛必达法则又恢复到原来的比

7、式，无法得到最终结果．1．4用反例发展联想，促进思考，扩大知识面在收敛级数性质的教学中，教材只给出了定理：若级数∑Un与∑Vn都收敛，则级数∑(un+¨也收敛，在此基础上可以让学生思考以下问题，对级数∑u。与∑v。的以下两种情况：1)当∑u。与∑Vn均发散2)当∑Un收敛而∑Vn发散分别对级数的敛散行作出判断，并要求对肯定的结论作出证明，对否定的结论作出举例，有同学可能会认为1)发散，为此可提出考虑例子如，它们都发散，但是它们的通项相加得到的新级数却是收敛的，于是回答了问题1)，两个发散级数相加得到的新级数不一

8、定发散．问题2)可用反例法去证，易证2数学分析中反例的构造反例的构造是一种重要的数学技能，由于数学本身的抽象性，使得反例的构造不是一件轻而易举的事，如果能经常进行反例构造的训练，将有助于学生形成良好的思维品质，提高学生分析问题、解决问题的能力．下面我们简单介绍一种构造法，特例构造法．特例构造法是利用一些典型的反例来科学的凑合，就可提出所需的反例．例y川x)在x=】【0处连续，是否存在X