数学分析考试题1

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1、数学分析课程中的几个反例1．处处连续处处不可导的函数在数学分析的发展历史上，数学家们一直猜测：连续函数在其定义区间中，至多除去可列个点外都是可导的。也就是说，连续函数的不可导点至多是可列集。虽然这一猜测是错误的，但数学家在很长一段时期一直没能找到反例，原因是在当时函数的表示手段有限，而仅仅从初等函数或从分段初等函数表示的角度出发去考虑，是找不到反例的。但是随着级数理论的发展，函数表示的手段扩展了，数学家可以通过函数项级数来表示更广泛的函数类。Weierstrass是一位研究级数理论的大师，他于1872年利用

2、函数项级数第一个构造出了一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：∞nnf()xab=∑sin(x)，01。n=0下面叙述的反例在证明上要相对简易些，它是由荷兰数学家VanDerWaerden于1930年给出的。设ϕ(x)表示x与最邻近的整数之间的距离，例如当x=1.26，则ϕ(x)=0.26；当x=3.67，则ϕ(x)=0.33。显然ϕ(x)是周期为1的连续函数，且ϕ(x)≤2/1。11注意当x,y∈[k,k+]或[k+,k+]1时，成立

3、ϕ(x)−ϕ(y=

4、

5、)x

6、−y

7、。22VanDerWaerden给出的例子是：∞nϕ(10x)f(x)=∑n。n=010n∞ϕ(10x)11由n≤n，及∑n的收敛性，根据Weierstrass判别法，102⋅10n=02⋅10上述函数项级数关于x∈(−∞,+∞)一致收敛。所以f(x)在(−∞,+∞)连续。1现考虑f(x)在任意一点x的可导性。由于f(x)的周期性，不妨设0≤x<1，并将x表示成无限小数x=0.a1a2…an…。若x是有限小数时，则在后面添上无穷多个0。然后我们取−m⎧10,当a=,8,7,6,5,3,2,1,0h=m

8、m⎨−m−10,当a=,9,4⎩m例如设x=0.309546…，则我们取h=−1，h=−2，h=−3，1102103−10h=−4，h=−5，h=−6，…。显然4105−10610h→0(m→∞)。mf(x+h)−f(x)m于是我们只要证明极限lim不存在。m→∞hm∞nnf(x+h)−f(x)ϕ(10(x+h))−ϕ(10x)m=∑mnhmn=010hmm−1ϕ(10n(x+h))−ϕ(10nx)∞ϕ(10n(x+h))−ϕ(10nx)mm=∑n+∑n。n=010hmn=m10hm当时，(10nnn−mn

9、n≥mϕ(x+hm))=ϕ(10x±10)=ϕ(10x)，所以f(x+h)−f(x)m−1ϕ(10n(x+h))−ϕ(10nx)mm=∑.nhmn=010hmn当n=,2,1,0?,m−1，在10x的表示中am的位置是第m−n位小数，n10x=aa?a.a?a?,12nn+1mn10(x+h)=aa?a.a?(a±)1?,m12nn+1mnn11由hm的取法，可知10(x+hm)与10x同时属于[k,k+]或[k+,k+]1，22因此nnnϕ(10(x+h))-ϕ(10x)=±10h，mm于是我们得到f(x

10、+h)−f(x)m−1m=，∑±1hmn=02等式右端必定是整数，且其奇偶性与m一致，由此可知极限f(x+h)−f(x)mlimm→∞hm不存在，也就是说，f(x)在任意一点x是不可导的。这样，一个处处连续，但处处不可导的函数反例通过了函数项级数这一工具而被构造出来了。电子课件演示Weierstrass的反例构造出来后，在数学界引起极大的震动，因为对于这类函数，传统的数学方法已无能为力，这使得经典数学陷入又一次危机。但是反过来危机的产生又促使数学家们去思索新的方法对这类函数进行研究，从而促成了一门新的学科“

11、分形几何”的产生。所谓“分形”，就是指几何上的一种“形”，它的局部与整体按某种方式具有相似性。“形”的这种性质又称为“自相似性”。我们知道，经典几何学研究的对象是规则而光滑的几何图形，但是自然界存在着许多不规则不光滑的几何图形，它们都具有上面所述的“自相似性”。如云彩的边界；山峰的轮廓；奇形怪状的海岸线；蜿蜒曲折的河流；材料的无规则裂缝，等等。这些变化无穷的曲线，虽然处处连续，但可能处处不可导。因此“分形几何”自产生起，就得到了数学家们普遍的关注，很快就发展为一门有着广泛应用前景的新的学科。通过这个例子，同

12、学们可以认识到数学家如何通过从提出猜想，到证明或否定猜想的过程，使数学学科得到发展的，希望学生在今后的学习中重视对反例的探讨。32.Peano曲线什么是曲线？曲线就是一个从实轴上的闭区间到平面（或空间）的连续映射。如果这个映射具有非零的连续导数，则称曲线是光滑的，大家已经知道光滑曲线是可求长的。否则的话，曲线有可能不可求长。从常识来讲，曲线所绘出的图形的面积（或体积）似乎应该为零。但事实上一条曲线所绘出的图形的面