《曲线和方程》教师教学案

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1、“‘卡西欧杯’第三届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评比活动”《曲线和方程》教案【课题】曲线和方程【教材】人教版全日制普通高级中学教科书——数学第二册（上）【授课教师】甘肃省民乐一中马鑫【教学目标】◆知识目标：1、了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系；2、初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念；3、学会根据已有的情景资料找规律，进而分析、判断、归纳结论；4、强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法。◆能力目标：1、通过直线方程的引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的认识；2、在形成曲线和方程的概念的教学中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论，并能

2、有条理的阐述自己的观点；矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3、能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识；聞創沟燴鐺險爱氇谴净。◆情感目标：1、通过概念的引入，让学生感受从特殊到一般的认知规律；212、通过反例辨析和问题解决，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质，以及勇于批判、敢于创新的科学精神。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。【教学重点】“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念【教学难点】怎样利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程【教学方法】问题探索和启发引导式相结合【教具准备】三角板、多媒体教学设备【教学过程】一、感性认识阶段——以旧带新

3、，提出课题师：在本节课之前，我们研究过直线的各种方程，建立了二元一次方程与直线的对应关系：在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用一个二元一次方程表示，同时任何一个二元一次方程也表示着一条直线。下面看一个具体的例子：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。（出示幻灯片2）幻灯片2画出方程表示的直线借助多媒体让学生直观上深刻体会如下结论：（出示幻灯片3）21幻灯片31、直线上的点的坐标都是方程的解；2、以这个方程的解为坐标的点都在直线上。即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应关系。也即：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。（出示幻灯片4，引导学生类比、推广并思考相关问题）幻灯片4类比：推广：即：任意的曲线

4、和二元方程是否都能建立这种对应关系呢？也即：方程的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程表示曲线C，同时曲线C也表示方程？为什么要具备这些条件？謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。师：以上问题就是本节课研究的内容：曲线和方程（板书课题）。21二、分化本质属性阶段——运用反例揭示内涵师：刚才的讨论中，有的同学提到了应具备关系：“曲线上的点的坐标都是方程的解”；有的同学提到了应具备关系：“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”；还有的同学虽用了不同的提法，但意思不外乎这两个。现在的问题是：上述的两种提法一样吗？它们反映的是不是同一事实？有何区别？究竞用怎样的关系才能把幻灯片4中的曲线和方程的这种对

5、应关系完整的表达出来？为了弄清这些问题，我们来研究下列问题：厦礴恳蹒骈時盡继價骚。（出示幻灯片5，让学生回答问题，并加以纠正和总结）幻灯片5用下列方程表示如图所示的曲线C，对吗？为什么？师：方程⑴、⑵、⑶都不是曲线C的方程。第⑴题中曲线C上的点不全是方程的解；例如点A（－2，－2）、B（，）等不符合“曲线上点的坐标都是方程的解”这一结论。第⑵题中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但是以方程的解为坐标的点却不全在曲线上；例如D（2，－2）、E（，）等不符合“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论。第⑶题中既有以方程的解为坐标的点，如G（－3，3）、H（，）等都不在曲线上，又有曲线C

6、上的点，如M（－3，－3）、N（－1，－1）等的坐标不是方程的解。事实上，⑴、⑵、⑶中各方程所表示的曲线应该是如图所示的3种情况。21茕桢广鳓鯡选块网羈泪。（出示幻灯片6）幻灯片6师：以上我们观察分析了幻灯片3、5中的问题，发现幻灯片3中的问题完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程；而幻灯片5中的问题不能完整地用方程表示曲线，用曲线表示方程。如果我们把完整地用方程表示曲线和用曲线表示方程看成“曲线的方程”和“方程的曲线”的话，那么就可以给“曲线的方程”和“方程的曲线”下定义了。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。三、概括形成定义阶段——讨论归纳给出定义师：在下定义时，针对幻灯片5中的第⑴个问题“曲线上混有

7、其坐标不是方程的解的点”应作何规定？生：“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”。师：针对幻灯片5中的第⑵个问题“以方程的解为坐标的点不在曲线上”应作何规定？生：“以方程的解为坐标的点都有是曲线上的点”。这样，我们可以对“曲线的方程”和“方程的曲线”下这样的定义：（出示幻灯片7）21幻灯片7一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：⑴曲线上的点的坐标都是这个方程的解；⑵以这个方程的解为