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1、第第55章章回归分析回归分析上海应用技术学院材料科学与工程学院5.1变量之间的关系变量间的关系有两类：一类是变量间存在着完全确定性的关系，可以用精确的数学表达式来表示。另一类是变量间不存在完全的确定性关系，不能用精确的数学公式来表示。像这样一类关系是大量存在的，统计学中把这些变量间的关系称为相关关系，把存在相关关系的变量称为相关变量。上海应用技术学院材料科学与工程学院1统计学上采用回归分析研究呈因果关系的相关变量间的关系。表示原因的变量x称为自变量，表示结果的变量称为y因变量。研究“一因一果”，即一个自变量与一个因变量的回归分析称为一元回归分析；研究
2、“多因一果”，即多个自变量与一个因变量的回归分析称为多元回归分析。一元回归分析又分为直线回归分析与曲线回归分析两种；多元回归分析又分为多元线性回归分析与多元非线性回归分析两种。上海应用技术学院材料科学与工程学院求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小，简称最小二乘法.上海应用技术学院材料科学与工程学院25.2散点图要研究两个变量之间是否存在相关关系，自然要先作实验，拥有一批实验数据，然后，作散点图，以
3、便直观地观察两个变量之间的关系。合成纤维强度与拉伸倍数的关系，24组实验。上海应用技术学院材料科学与工程学院某合成纤维拉伸倍数和强度的关系编号拉伸倍数强度y编号拉伸倍数强度yxkgf/cm2xkgf/cm211.91.41355.5221.3145.2532.11.81565.542.52.5166.36.452.72.8176.5662.72.5187.15.373.531986.583.52.72087944218.98.51043.52298114.54.2239.58.1124.63.524108.1上海应用技术学院材料科学与工程学院3108
4、6强度y420051015拉伸倍数x上海应用技术学院材料科学与工程学院从散点图中看出，这些点虽然散乱，但大体上散布在某直线的周围，也就是说，拉伸倍数与强度之间大致成线性关系。其关系可用下式表示：Y=a+bxY是y的计算值，与实际值不完全相同。Y与x之间不具有确定的函数关系，而是相关关系。确定回归方程Y=a+bx中的回归系数a、b。y随x增大，称为正相关；y随x减小，称为负相关。肉眼判断，杂乱无章，不存在直线关系。1086强度y420051015拉伸倍数x上海应用技术学院材料科学与工程学院41086强度y420051015拉伸倍数x上海应用技术学院材料
5、科学与工程学院5.3直线的回归5.3.1一元回归方程的解决的问题一元线性回归分析，只要解决：（1）求变量x与y之间的回归直线方程（2）判断变量x和y之间是否确为线性关系（3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量的取值上海应用技术学院材料科学与工程学院55.3.2一元回归方程的求法上海应用技术学院材料科学与工程学院在x、y直角坐标平面上可以作出无数条直线，我们把所有直线中最接近散点图中全部散点的直线用来表示x与y的直线关系，这条直线称为回归直线。10设回归直线的方程为:86强度y42yˆ=+abx0051015拉伸倍数xyˆ叫做回归估计值a--截距，b
6、--斜率。上海应用技术学院材料科学与工程学院6数学上判定直线合理的原则：如果直线与全部观测数据y(in=1,2,...,)的离差平方和，i比任何其它直线与全部观测数据的离差平方和更小，该直线就是代表与之间关系较为合理的一条直线，这条xy直线就是和之间的回归直线。xy1086强度y420051015拉伸倍数x上海应用技术学院材料科学与工程学院设yabxˆ=+是平面上的一条任意直线，(xyi,)(1,2,=ii...,)n是变量，的一组观测数据。xy那么，对于每一个，在直线xyˆ=+abx上确可以确定一i个yabˆˆ=+x的值，与处实际观测值的差：yxy
7、iiiiiyyyab−=−+ˆ()xiii就刻画了与直线偏离度yi上海应用技术学院材料科学与工程学院7上海应用技术学院材料科学与工程学院a、b应使回归估计值与实际观测值y的偏差平方和最小，即：全部观测值yi(1==,2,...,)n与直线上对于的yiˆ(1,2,...,)nii的离差平方和则为：nn22Qy=−=−∑∑()(iiyyˆia−bxi)ii==11Qy反映了全部观测值(1i=,2,...,)n对直线的偏离程度，显i然，离差平方和越小，愈能Qx较好地表示,y之间的关系。用最小二乘法原理，通过选择合适的系数，，使最小abQ上海应用技术学院材料
8、科学与工程学院8n∂Q=−2(∑yabii−−x)0=(51−)∂ai=1n∂Q=−2(∑yabii−−xx
