数值分析ch1绪论

《数值分析ch1绪论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数值分析ComputationalMethodChapter1绪论简介1引论实际建立数选择数编写计算对实际问问题学模型值方法程序结果题解释若不合理修改数值分析是计算数学的一个主要部分，着重研究适合于电脑使用的数值计算方法及相关理论数值分析的特点：•面向计算机，只能,,,和逻辑运算；•有可靠的理论分析；•要费时少，内存小；•经数值试验后，证明是行之有效。第二节数值计算的误差•在用数值方法解题过程中可能产生的误差归纳起来有如下几类：1.模型误差固有误差2.观测误差3.截断误差计算误差4.舍入误差2误差的定义定义设x为准确值，x*是x的一个近似值，称e=x

2、x为近似值x*的绝对误差，简称误差。定义称满足

3、e

4、

5、xx

6、*的正数*为近似值x*的绝对误差限，简称为误差限。exx定义称e为近似值x*的相对误差。rxxe*常取x*定义称满足exx

7、e

8、

9、

10、

11、

12、rrxx的正数r为近似值x*的相对误差限。相对误差比绝对误差更能反映准确数与近似数的差异截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差.例如yx0hyx0yxlim0h0h用下列近似公式计算yxhyx00yx0hy

13、2由于yxhyxyxhh0002!所以yx0hyx0yyxh0h2截断误差为yh2截断误差:求解数学模型所用的计算方法如果是近似的方法,据此方法得到数学模型的近似解,由此产生的误差称为截断误差.舍入误差:由于电脑的字长有限,参加运算的数据、运算的过程以及结果的存放,由此产生的误差称为舍入误差.例如3.141592654但在实际计算中，我们输入到计算机里的数都是有限位数，比方说用到时，我们输入3.1416，产生的误差0.000007346就是舍入误差。有效数字定义如果近似值x的

14、误差限是其某一位上的半个单位，且该位直到x的第一位非零数字一共有n位，则称近似值x具有n位有效数字，用这n位有效数字表示的近似数称为有效数。n位x误差不超过该位的半个单位自左至右看，第一个非零数。定义若准确值x的近似值x*用规格化形式表示为mxa.aa1012l1mn1且有:

15、xx

16、10(1nl)2则称近似值x有n位有效数字。其中：a0,1,2,,9,a0m0,1,2,i1例设x0.08002近似数x*分别为0.08006,0.08000,0.08009问它们分别各有几位有效数字。*判别有效数字

17、位数的两种方法：1.定义法，2.公式法。定理令准确值x的近似值x用规格化形式表示为mxa.aa1012l若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为1n11n110即

18、e

19、10r2a12a1反之若x*的相对误差限r满足1n110r2(a1)1则x*至少具有n位有效数字。证明：若x*具有n位有效数字,则有1mn1xx*102又mxa110所以，*x*x1n110r2ax1*x*x1n110r若x2a11mxa110由于1*1mn1故，xx*x10r

20、2所以，x*至少有n位有效数字。证毕和、差、积、商的误差结论1和的误差是误差之和.结论2和或差的误差限不超过误差限的和.结论3乘积的相对误差等于两数相对误差之和.结论4绝对误差可以近似地由微分运算来描述;相对误差可以近似地由对数的微分来描述.对多元函数u=f(x1,x2,,xn)有关系式nfdudxi………..误差传递公式i1xi例设y=xn,求y的相对误差与x的相对误差之间的关系.*例设x2.0561,x2.06，11x1.04,x*1.0，求它们,,,22的绝对误差限。例已知x*的相对误差为，求ysinx的绝对误差（

21、限）和相对误差（限），又x3若使y的绝对误差限或相对误差限是10，则0x*的绝对误差限和相对误差限分别为多少?1．3误差定性分析与避免误差危害•条件数与病态问题称xfxCpfx为计算函数值问题的条件数.•数值稳定性若初始数据的误差在大量的计算下,传播不大,就认为该算法是稳定的。否则，就认为不稳定。11nx例计算Iexedxn0,1,n0并估计误差。解已知I1e1,I1nI0nn11取e0.3678算法1n01234I0.63210.36790.26420.20740.1704nn56789I0.14800.11200

22、.2160-0.7280