学电势梯度教的新尝试

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1、I第11卷第1期纺织高拉基础科学学报Vo1．II，No．Il998年3月BASICSCIENCESJOURNALOFTEXTILEUNJVERSrr啜March，1998*教学研究*电势梯度教学的新尝试4牟丘『5高关中键图词分类≥号。．查411塑兰苎竺电匿努弓哆、1高等数学在多元函数微分法及其应用一章中从数学原理方面阐述了方向导数和梯度的概念口]，后继的大学物理课程在介绍静电场理论的最后部分，论证了电场强度和电势梯度的关系，通过这两门基础课的教学本应使学生从数学结构和物理意义两方面对梯度概念有完整准确的理解．但是，高数对方向导数和梯度这两个概念仅要求作一般了解，大学物理

2、课中对电场强度与电势梯度的关系并不作为基本教学要求，且概念引入及证明方法论述简单，用电势的偏导数表示电势梯度与高等数学中所学的也完全不同口]，教学过程中也大多一带而过、以致完成本科学业后学生仍对梯度概念不甚了了、作者用下述不同于一般大学物理教科书的方法讲授电场强度和电势梯度的关系，并以所学的静点场理论为例简要介绍场的概念]．学生反应良好、1静电场电场强度的方向和大小证明1在静电场中，任一点的电场强度沿通过该点的等势面的法线指向电势降落的方向，大小等于该点等势面正法线方向上的电势增加率、任一静电场中，设试验电荷啦在某等势面上的尸点沿等势面作任意微小位移df，尸点的场强E与

3、d的夹角为口．根据等势面的定义，电场力qcE的功dA等于零，即dA=∞E·dl=ECOSOd[一0其中、E、d／都不为零，所以CO一0，即／2．由于为等势面上任意线段，P点的场强E必垂直于通过P点的等势面，即电力线和等势面处处正交．可见，静电场中任一点的电场强度E，与通过该点的等势面的法线在同一直线上．设等势面上尸点法线的正方向是指向电势升高方向(见圉1)，以H。表示正法线上的·中国纺织大学基础部，200051．上梅市延安西路1882号．邱高，男，34岁，副教授收稿El期1997—06一l6t，·第1期电势梯度教学的新尝试85单位矢量，试验电荷从尸点沿正法线移动微小位移

4、到达等势面fT+dU，电场力的功为dJ4一[fT一(fT—dU)]一一qodU叉dA=qoE·dn—qoEcos8d得到一dU—Ecos8dn式中dU．E和均为正值，电场强度E与通过该点的等势面的法线在同一直线上，所以cos8=一1，即E与no方向相反．静电场中任一点处的电场强度E，沿通过该点的等势面的法线指向电势降落的方向，大小等于该点等图1电势梯度矢量与电场强度势面正法线方向上的电势增加率(即措该方向单位长大小相等方向相反度上电势的增量)．即E—dU／dn．E一一(dU／幽。．证明2静电场中任一点逆着电场强度的方向，电势有最大的空间变化率——最大的方向导数．电势U是

5、空间位置的函数，U—U(x,y，2)，电势在点P(z，Y，)沿任一方向的空间变化率，又称为函数在该点沿方向f的方向导数．若试验电荷从尸点沿任意方向琏多动微小位移山到达等势面fT+dU，尸点的场强E和o与山的夹角分别为(Ⅱ一士)和士，同证明1．根据电场力的功，有一dU—Ecos(~一)出．得dU／dl—Ecos~P一(dU／)cos~显然，当空一0，即静电场中任一点沿等势面的正法线方向或者说逆着电场强度E的方向，电势增加得最快，电势在该方向的方向导数最大，且等于该点电场强度的大小．2电场强度和电势梯度静电场中某点(函，，)向任意方向f引一直线，n，卢，分别是方向与，轴的夹

6、角(又称方向角)．该方向上的单位矢量即为／0一COS+c0s卢+cosy孟，线上各点的坐标，Y，2可表示为距M点的距离f的函数，一蜀+c0，Y一+c0s卢，一+，cosT．这样，电势U(z，Y，沿方向f的方向导数用全导数表示为dU．0Udv出面一面’面十’面_。磊’面=警。+十+十3~zcos7对于静电场中的每一点P(x，y，都可用电势在该处的偏导数定义一个矢量：舯au一警++磐把矢量gradU称作该点的电势梯度．那么，电势沿任意方向f的方向导数可用梯度矢量与该方向上单位矢量的点积表示面一一磬jIc。+十i。+十磬。86纺织高校基础科学学报第ll卷一(+十．(c。+co

7、sflj+CO=ldUlcos(gradU，lo)这里，(grad~LIo)表示电势梯度矢量gradU与单位矢量间的夹角．显然，当方向，与电势梯度矢量gradU方向一藏时，cos(gradUdo)一1，电势的方向导数(dU／d／)有最大值，等于电势梯度矢量gradU的大小．所以，电势梯度的方向正是电势增加得最快的方向，其大小等于最大的方向导数．根据前面的结论知：电势增加得最快的方向，是等势面的正法线方向或者说电场强度E的反方向，电势在某点最大的空间变化率等于该点电场强度的大小．所以，对于某点的电势梯度矢量grad它的方向就是该点等势面的正