mi工程数学2012-ch10-勒让德多项式和球谐函数new

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1、第十章勒让德多项式和球谐函数10.1 球坐标下的数理方程10.2 常微分方程的幂级数解法10.3 勒让德多项式10.4 勒让德方程的本征值和本征函数10.5 母函数和递推公式10.6 勒让德多项式的模10.7 具有轴对称性的物理问题10.8 连带勒让德多项式10.9 球谐函数10.10 小结§10.1 球坐标下的数理方程球坐标下的亥姆霍兹方程ìx=r sinqcos jï球坐标íy=r sinqsinjïîz=r cos q2v2 v下,亥姆霍兹方程Ñu(r)+ku(r )=0写为2 1¶æ2¶uö1¶æ¶uö1¶u2 çr÷+çsinq÷++ku=

2、022222 r¶rè¶rørsinq¶qè¶qør sinq¶j设u(r,q,j)=R(r )Q(q)F(j), 亥姆霍兹方程分离为三个方程2 1dæ2dR öæ2 wöçr÷+çk-÷R =022 rdrèdrøèrø2 1dædQöæ2 m öçsinq÷+çw-÷Q=02 sinqdqèdqøèsinqø2 F¢¢+mF=0球v坐根据量子力学,质量为m的微观粒子在势场V(r ) 中的标行为由薛定谔(Schrodinger)方程给出下的2¶yh2vih=-Ñy+V(r ) y¶t2m 薛定rh其中y(r,t)为粒子的波函数,h=,h为普朗克常数

3、. 谔方2pvv若V(r)=V(r)=V(r ),可以在球坐标下分离变量. 令v程y(r,t)=y(r,q,j,t)=R(r)Y(q,j)T(t ) 代入薛定谔方程, 得到222Ñ2Y (q,j) T¢(t ) hÑrR(r ) hq, jvi h=--+V(r ) 2T(t)2mR(r)2mrY (q,j) 2212其中ѺÑ+Ñ为球坐标下的拉普拉斯算符, r2q, jr 221¶æ2¶ö21¶æ¶ö1¶Ñºçr ÷,Ѻçsinq÷+r2q, j22r¶rè¶røsinq¶qè¶qøsinq¶j2 T¢(t ) ÑY(q,j) q, j2 令ih

4、=E ,=-w, 式T(t)Y(q,j) 22 2 2 T¢(t ) hÑrR(r ) vhÑq, jY(q,j) ih=-+V(r ) -2 T(t)2mR(r)2mrY(q,j) v如果V(r)=V(r ) ，上式化为三个方程E T¢-T=0i h2 1¶æ¶Yö1¶Y2 çsinq÷++wY=022 sinq¶qè¶qøsinq¶j2 1dæ2 dRöì2m wüçr÷+í[E-V(r )]-ýR =022 2 rdrèdrøîhrþ其中Y(q,j)满足的方程称为球谐函数方程.当V(r )=0时,R(r)满足的方程变为球贝赛耳方程.欧拉型方程2

5、 如果k=0或者E-V(r)=0,并令w=l(l +1), 球贝赛耳方程2 1dæ2dR ö2 wçr÷+(k-) R =02 2 rdrèdrør 化为dæ2 dR öçr÷-l(l+1)R =0dr èdr ø或2 rR¢¢+2r R¢-l( l+1)R =0上式为欧拉型方程. 欧拉型方程的解m试解R=r 代入欧拉型方程2 rR¢¢+2rR¢-l(l+1)R =0得m[m(m-1)+2m-l(l+1)]r =0即m(m+1)-l(l +1)=0解得m=l ,m=-(l+1).由此得R(r ) 的通解12 l1R(r)=Ar+B . l+1 r注：

6、（1）对l 没有限制.（2）l =0不需要单独考虑.球谐函数方程球谐函数方程:2 1¶æ¶Yö1¶Y2 çsinq÷++wY=022 sinq¶qè¶qøsinq¶j2 ¶F2 分离变量:令Y(q,j)=Q(q)F(j), 并且令=-m 2 ¶j得关于Q(q)和F(j)的常微分方程: 2 1dædQöæ2 m öçsinq÷+çw-÷Q=02 sinqdqèdqøèsinqø2 F¢¢+mF=0.§10.2 常微分方程的幂级数解法连带勒让德方程和勒让德方程2 1dædQöæ2 m ö在方程çsinq÷+çw-÷Q=02 sinqdqèdqøèsinq

7、ø中做变量代换.令x=cosqÎ[-1,1],y(x)=Q(q), dxdQdydxdy=-sinq,==-si nqdqdqdxdqdx2 dé2dyùæ2 m ö得(1-x)+çw-÷y=0. êú2 dxëdxûè1-xø2 dé2dyùæ2 m ö由(1-x)+çw-÷y=0êú2 dxëdxûè1-xø2 令w=l(l +1), 得22 2 dydyæm ö(1-x)-2x+çl(l+1)-÷y=02 2 dxdxè(1-x) ø上式称为连带勒让德方程.m=0时的方程2 2 dydy(1-x) -2x+l(l+1)y=02 dxdx称为勒让

8、德方程.勒让德方程的幂级数解把试解y(x) 展开为泰勒级数¥¥¥kk-1k-2 y(x)=åckx,y¢(x