数学物理方程课后作业答案

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1、习题2.12.长为L，均匀细杆，x=0端固定，在重力作用下，垂直悬挂，横向拉它一下，使之作微小的横振动。试导出振动方程。解：在t=0时，杆被均匀拉长，所以有：bu

2、=kx=+1xt=0Lu

3、=0在t=0时，各点的速度：tt=0，初始条件已全部写出。由u

4、=0于杆x=L端为自由振动，故xxL=。在x=0端，有u

5、=0x=0。综上所述，定解条件为：⎧u

6、=0tt=0⎪b⎪⎪u

7、=kx=1+xt=0⎨L⎪u

8、=0x=0⎪⎪⎩u

9、=0xx=L习题2.21.一根半径为r，密度为ρ，比热为c，热传导系数为k的匀质圆杆，u如同截面上的温度相

10、同，其侧面与温度为1的介质发生热交换，且热k交换的系数为1。试导出杆上温度u满足的方程。解：考虑在时间间隔t到t+dt内，细杆x到x+dx微元段热量流动情1况。由热平衡方程可知，引起温度变化所吸取的热量dQ为：2dQc=ρπrdxuxtdt⎡⎣(,+)−uxt(,)⎤⎦2=cρπrudxdtt另一方面，由热传导理论的Fourier实验定律知，在dt时间内，沿杆正向流过x截面的热量为：2dQ1=−kuxt1x(,)πrdt同理，在dt时间内，沿杆正向流过xdx+截面的热量为：2dQ2=−kuxdxt1x(+,)πrdt所以，在d

11、t时间段内，流入微元段[x,x+dx]的热量为：1dQ=dQ−dQ122=krudxdtπ1xx由热平衡方程知道，1dQ=dQ22cρπrudxdt=krudxdtπt1xxk1u=utxxcρ上式即为u满足的方程。习题2.321ρ4.由静电场Gauss定理∫∫EdS=∫∫∫ρdV，求证：∇=E，并由此εεS0V0导出静电势u所满足的Poisson方程。解：由Gauss公式得：∫∫EdS=∫∫∫∇EdVSV………………式11又有：∫∫EdS=∫∫∫ρdV………………式2εS0Vρ∇E=联立1、2两式得：ε………………式30因为

12、静电场存在场势函数：E=−∇u………………式4将4式带入3式中得：ρ∇−∇(u)=ε02ρ∇u=−所以有：ε………………式50习题2.42.(2)uxx+2uxy−3uyy=0解：由题意可知：2△=2－4×(-3)=16﹥0=>双曲型2⎛dy⎞dydy⎜⎟−2−3=0=>=3或-1⎝dx⎠dxdx3⎧ε=3x−y令⎨⎩η=x+y⎡εxεy⎤⎡3−1⎤则Q=⎢⎥=⎢⎥⎢⎣ηxηy⎥⎦⎣11⎦⎡a11′a12′⎤⎡a11a12⎤T⎡3−1⎤⎡11⎤⎡31⎤⎡08⎤=>⎢⎥=Q⎢⎥Q=⎢

13、⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎣a12′a′22⎦⎣a12a22⎦⎣11⎦⎣1−3⎦⎣−11⎦⎣80⎦b′=Lε−cε=0b′=Lη−cη=0c′=f′=012∴16uεη=0，，⇒，，u=f(ε)+g(η)=f(3x−y)+g(x+y)(5)16uxx+16uxy+3uyy=0解：由题意可知：2△=16－4×16×3=64﹥0=>双曲型2dy31⎛dy⎞dy=16⎜⎟−16+3=0=>或⎝dx⎠dxdx44⎧ε=3x−4y令⎨⎩η=x−4y⎡εxεy⎤⎡3−4⎤则Q=⎢⎥=⎢⎥⎢⎣ηxηy⎥

14、⎦⎣1−4⎦=>⎡a11′，a12′⎤⎡a11，a12⎤T⎡3，。−4⎤⎡16，，。8⎤⎡，，3，，，，1。⎤⎡0，。，−32⎤⎢⎥=Q⎢⎥Q=⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎣a12′，a′22⎦⎣a12，a22⎦⎣1，，−4⎦⎣，8，，，，3⎦⎣−4，，−4⎦⎣−32，，，0⎦b′=Lε−cε=0b′=Lη−cη=0c′=f′=012∴−64uεη=0⇒u=f(ε)+g(η)=f(3x−4y)+g(x−4y)习题2.64δ(x)δ(ax)=(a≠0)(3)证明公式：a解：⎧0,x=0∵δ(x)满足δ(x)=⎨;⎩

15、+∞,x≠0∴δ(ax)=bδ(x)其中b为待定系数。由：+∞+∞tax=t∫δ(axdx)⎯⎯⎯→∫δ(td)a−∞−∞+∞11=∫δ(tdt)=aa−∞11b=,δ(ax)=δ(x)所以有：aa习题3.12⎧⎪X′′+βX=0⎨3.(4)⎪X=0，[X′+hX]=0⎩x=0x=L解：由分析知道，β=0时方程没有非零解。当β≠0时，X=Acosβx+Bsinβx，代入边界条件得：5⎧⎪A=0⎨⎪⎩B(βcosβL+hsinβL)=0∵AB,不能同时为0∴βcosβL+hsinβL=0⇒βtanβL=−,所以方程的固有值hβ为

16、方程tanβL=−的根。h固有函数为XB=sinβx5.一根均匀弦两端分别在x=0及x=L处固定，设初始速度为零，初L始时刻弦的形状为一抛物线，抛物线的顶点为（，h）。求弦振动的2位移。解：设位移函数为uxt(,)，他是下列定解问题的解：⎧⎪2u=au,⎪ttxx⎪⎨u=u=