材料力学第二章4new

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1、2-9CASTIGLIANO定理卡氏定理：在载荷系作用下，处于平衡状态的，服从叠加原理的任意线弹性体系，它的总应变能对于任一载荷的一次偏微分，等于此载荷的作用点沿其作用线方向的位移，即UiFi1.定理中的载荷和位移，是广义(Generalized)的。当载荷是力时，便是线位移；当载荷是力偶矩时，便是角位移。2.注意求得的位移是载荷作用点沿其作用线方向的位移。湖北汽车工业学院马迅制作例：图示桁架，在节点A处承受垂直载荷P，杆1E=200GPa,1A=100mm2,L=1m,E=10GPa,A=4000mm2,P=10KN，求A1122点的垂直位移。解:1.分析

2、两杆的内力FN12PFN2P2.杆系的应变能:22（2P）2LP2LFN1L1FN2L2＝12UFN12A1E12A2E22A1E12A2E245FN23.利用卡氏原理U（22P）2L12PL2APP2A1E12A2E2332110101/21010969620010100101010400010A1.18(mm)湖北汽车工业学院马迅制作1利用卡氏定理可否求A点的水平位移？虚加载荷PFN12PFN2PP0022PFN1L1FN2L20UUABUAC2A1E2A2E22FN1(2P)L1(P－P0)

3、L2452A1E2A2EFN2P0U2(P－P)LP－02P0AC令0P02A2E3210101/2－－0.177(mm)69240001010101.结果中的负号说明位移方向与虚加载荷方向相反。2.若所求位移处没有载荷，可以虚加载荷，将变形能对虚加载荷求偏导后，再令其为零。湖北汽车工业学院马迅制作2-10拉压静不定问题1.静定问题与静不定问题A静定问题Statically1212determinateFProblemFF平面力系：共线力系汇交力系平行力系平衡方程数：122未知力数：122湖北汽车工业学院马迅制作2A静不定问题13

4、21342StaticallyFIndeterminateProblemFFB平面力系：共线力系汇交力系平行力系平衡方程数：122未知力数：234静不定度：未知力个数减去有效平衡方程的数目。Degreeofstaticallyindeterminacy湖北汽车工业学院马迅制作多余约束：指相对平衡来说不需要的约束。多余约束数目等于静不定度。Redundantsupport静定基：解除多余约束用多余反力来代替，所得结构为原静不定结构的静定基。PrimarystructureAAFN3132132FFFFRBB湖北汽车工业学院马迅制作32.静不定杆系的解法方法一：利用变形

5、相容性条件求解图示桁架，杆1和杆2的长度、材料和截面积相同，求各杆的内力。1）受力分析：X0FN1FN2（1）Y02FN1cosFN3P0此结构为1度静不定。A点变形后的位置如何确定？2）变形协调条件（变形相容性条件）：l1l3cos（2）湖北汽车工业学院马迅制作3）将虎克定律（物理条件）代入，得补充方程：FN1L1FN3L3l1l3coscos（3）E1A1E3A3E3A34)（1）式和（3）式联解，并令n即可求出各杆E1A1轴力的表达式为:Pcos2nPFN1FN23FN33n2cosn2cos总结静不定问

6、题的解法：列出平衡方程；判断静不定度。(Eq.ofEquilibrium)根据杆或杆系的变形几何关系，建立变形协调方程(变形相容性条件)；(Eq.ofCompatibility)列出物理方程-找补充方程；(Load-Disp.Relationship)求解。湖北汽车工业学院马迅制作43.例题例1：图示等截面杆，两端固定，在C处作用一集中力P，试求杆端的约束反力。解:1）静力平衡分析：RARBP（1）一度静不定问题2）变形相容性条件：llAClCB0（2）代入（2）3）物理方程：RAaRBb0（3）FNaRAalACFNRAACAC

7、EAEA4)联解（1）（3），得FNCBRBFNCBbRBblCBEAEA湖北汽车工业学院马迅制作方法二：利用卡氏定理求解：1.静力分析：X0FN1FN2Y02FN1cosFN3P02.解除多余约束，用多余反力代替，得到原静不定系统的静定基；3.多余反力作用处的位移有何特点？FN3U补充方程：3＝0FN34.联解静力平衡方程和相容性方程，求出所有的未知力。湖北汽车工业学院马迅制作5例1：图示等截面杆，两端固定，在C处作用一集中力P，试求杆端的约束反力。解:1.静力平衡分析：RARBP（1）一度静不定问题2.画出结构的静定