反射倒向随机微分方程及其在混合零和微分对策,可逆投资问题及偏微分方程中的应用

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1、山东大学博士学位论文反射倒向随机微分方程及其在混合零和微分对策，可逆投资问题及偏微分方程中的应用姓名：王皓申请学位级别：博士专业：概率论与数理统计指导教师：彭实戈;SaidHamadène20091024山东大学博士学位论文反射倒向随机微分方程解及其在混合零和微分对策，可逆投资问题及偏微分方程中的应用王皓(山东大学数学学院，山东济南250100)摘要形如，丁，TK=∈+／f(s，K，忍)ds一／zsdB8Jt的方程被称为倒向随机微分方程(BSDE)．线性的倒向随机微分方程是由Bismut在1973年研究随机最优控制的最大值原理时首次引入的．1990年，Purdo

2、ux和Peng首先证明了系数满足Lipschitz条件的非线性倒向随机微分方程解的存在唯一性．1992年，著名经济学家Duffle和Epstein也独立的地引入了一类特殊类型的倒向随机微分方程用以刻画金融中的递归效用函数。随后，学者们进一步的研究了不同条件下这类方程的可解性及相关性质，并广泛应用于数理金融、随机控制和经济管理等领域，使倒向随机微分方程理论得到了进一步的完善和发展．倒向随机微分方程在金融中有广泛的应用。我们看到，完备市场模型下未定权益在某一时刻丁的期望收益可以用一个动态投资组合来复制，其定价过程恰好可以由一个倒向随机微分方程的解y来描述，对应的另一

3、个过程Z则是相应的对冲投资组合．在实际应用中，金融市场中许多重要的衍生产品均可以通过随机微分方程给出理论价格．倒向随机微分方程的另一个重要应用是给出了一类偏微分方程的概率解释。1991年，Peng利用倒向随机微分方程对一类二阶拟线性抛物型偏微分方程做出了概率解释，将著名的Feynman．Kac公式推广到非线性的情形，为偏微分方程的发展和应用提供了更广阔的空间．本文主要研究倒向随机微分方程解的存在性和唯一性，及其在混合零和微分一积分对策问题，在可逆投资问题以及在偏微分．积分方程的概率表示等问题上的应用．以下是本文的结构和主要结论．山东大学博士学位论文第一章：简要回

4、顾倒向随机微分方程的历史及已有的经典结果，同时介绍本文中所讨论问题的背景及总体思路．第二章：研究了一类由布朗运动和与之独立的泊松过程共同驱动的双边反射倒向随机微分方程解的存在性和唯一性，其中，上下边界(障碍过程)分别是一个右连左极的过程．更确切的讲，一方面，这里的信息流是由布朗运动和与之独立的泊松过程共同生成的；另一方面，障碍过程可能包含两种类型的跳，既可以是可料的，也可以是不可达的．在不假设Mokobodski条件的情况下，我们需要寻找一个五元适应过程组(Kz，KK士)，其中K士是右连左极的非减过程，使得对任意t≤T：(i)M=f+／m，K，忍，Y,)ds+(

5、聆一对)一(坼一酊)一lIz8aB8一

6、Ijy文e。豇。dslde-；(ii)L≤y≤U，且若K。，士是K士的连续部分，则有／(K—Lt)dK；’+=／(仉一YL)dK；’一=o；(沈)若Kd，士是K士的纯断部分，则Kd，士是可料的，且础’一=’∑(K一以一)+1[Au,>o】，K?’+=∑(K—L。一)一1【△L。

7、左极限过程完全可分时，即：【H】：P—a．s．，Vt≤T，L￡<阢andL￡一<阢一，倒向随机微分方程(0．0．1)存在唯一解．本章的主要结论是；定理2．3．2．(存在唯一性)在假设条件[HI成立的前提下，CA(，，∈，L，U)为系数的双边反射倒向随机微分方程存在唯一解，即：存在唯一的五元组(y'Z，KK+，K一)满足(o．0．1)。在这章的第二部分，作为第一部分存在唯一性的应用，我们考虑了一类混合零和随机微分对策问题．假设在一个带跳的模型中c1和c2通过两种形式：控制跟停时进行博弈．受控系统有如下机制：栌跏+Z‘，($，Xs,Us,Vs)ds+以们'e’珏’孵

8、忍卅洲(de)ddes+崩s而飓+Z‘厶7(8,e,Xs-鼬'de¨∈【omTI山东大学博士学位论文博弈停止时刻，c·需要支付给c2如下形式的现金流rfTAa1J(扎，7-；u，仃)=E‰”l／，t(s，z。，Tk，v。)ds+坼1Ir<。】+L。1p≤，<明+∈1【，：盯：卅I．LJoj问题的实质是寻找一个c，和c2都接受的平衡点，我们称之为博弈问题存在一个值．通过引入具有(0．0．1)结构的倒向随机微分方程，我们证明了这类博弈问题存在一个值，即下面的关系成立：，inf、supJ(t正，7-；u，盯)=supjnf、g(u，7-；”，盯)，(tI，7)(u，口

9、)(口，口)【t‘，rJ