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1、【标题】构造法在不等式证明中的应用【作者】蒲德梅【关键词】不等式方法构造法【指导老师】彭祖明【专业】数学与应用数学【正文】1引言不等式的证明在初等数学中是一个重点�证明不等式的方法很多�如比较法、综合法、分析法、公式法、综合分析法、反正法、判别式法、换元法、放缩法、数学归纳法、代换系数法、代换特殊值、配凑常数法、消去参数法等。本论文在对以上的方法进行归纳总结基础上�并着重研究了证明不等式的一种方法——构造法。构造法是一种富有创造件的解题方法,它体现了数学中�发现、类比、化归的思想,也渗透着猜想、试验、探索、归纳、概括
2、、特殊化等重要的数学方法。在数学解题中�对题设条件、结论进行分析�联想有关知识和方法�通过恰当地构造辅助元素�可以使问题化难为易。在构造法中所构造的辅助元素可以是函数、图象、也可以是数列、复数、向量等等。2已知成果的概述2.1不等式证明的几种常用的方法证明不等式就是要证明所给不等式在给定条件下恒成立�由于不等式的形式多种多样�所以不等式的证明方法也就灵活多样�具体问题具体分析是证明不等式的精髓。证明不等式最常用的方法有比较法、综合法、分析法、公式法。2.1.1比较法在证明不等式的各种方法中�比较法是最基本、最重要的方
3、法。比较法是利用不等式两边的差是正数或负数来证明不等式�因而其应用非常广泛。在比较两个数或式子的大小�证明不等式的性质等�都用过这种方法。在证明算术平均数与几何平均数的定理是也用过这种方法。比较法分为[1]��1�求差比较�它有三个步骤�作差、变形、判断符号。变形是把差变形为一个常数�或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式�或者变形为一个分式�或者变形为几个因式的积的形式等。总之�能够判断出差的符号是正或负即可。�2�求商比较�它的步骤也有三步�作商、变形、判断大小。下面通过例题来介绍比较法证明不等式的具体步
4、骤。例题1已知a>0�b>0�求证�证明��作差比较法�(1)当时���(2)当时���(3)当时��综合(1)、(2)、(3)可知�综观例1说明�多项式型的不等式证明常用作差比较法�其步骤是作差变形定号结论。幂指数型的单项式常用作商比较法�其步骤是作商变形与1比较结论。2.1�2综合法由已知不等式或已被证明的�可作公式使用�重要不等式出发�运用不等式的性质�推导出欲证不等式的方法叫做综合法。用综合法证明不等式的基本思路,即”由因导果”,从已知条件及已知不等式出发,进行不等式的变形�最后推出要证明的结论。有的不等式其
5、一边具备某个定理的条件�或变形后具备��则可以直接由定理推出另一边�从而完成不等式的证明。综合法证明不等式的逻辑关系:即A(已知)B1B2BnB(结论).下面来看一个具体的例题.例2已知�a,b,c,求证�分析�某些不等式中的特殊结构及特殊数字都在暗示着你该使用哪个基本不等式。如本例中虽然有三个正数之和及“abc”形式�考虑到分式的特殊性�一般选择利用不等式�而不选择不等式�a>0,b>0,c>0�.证明�a>0,b>0,c>0,a+b+c>0,,,.将以上三式相加�得故2.1�3分析法分析法是从被证不等式出发,分析
6、使这个不等式成立的条件,把证明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题�如果能够肯定这些条件都已具备�那么可以判定原不等式成立。与综合法比较�分析法证明不等式是“执果索因”�从所证的不等式出发�不断用充分条件代替前面的不等式�直至使不等式成立的条件已具备。用分析法论证“若A则B”这个命题的模式是�欲证命题B为真�只需证明命题B1为真�从而又只需证明命题B2为真�从而又.只需证明命题A为真,今已知A真,故B必真。下面�探索分析用“分析法”证明不等式。例3若�求证�证明�因为�所以欲证成立只需证成立因为y>0,所以只需
7、证�即证即因为y>0,所以成立故若�则有在不等式的证明中�带有根式、分式或有条件的不等式证明�常用分析法证明。2.2证明不等式的其它方法不等式的证明题�由于题型多变�方法多样、技巧性强�同时又无固定规律可循�往往不是只用一种方法就能解决的�它是多种方法的灵活运用�也是各种思想方法的体现。因此�我们在认识了证明不等式的基本方法的基础上�将进一步研究证明不等式的其它常用方法[2]�如反正法、判别式法、放缩法、换元法、数学归纳法等。反证法�当直接证明不等式有困难是�或者当命题以否定的形式给出是�可以考虑反证法�其步骤是否定
8、结论�要找准结论的反面�然后根据题设或定理、公理推出矛盾�即结论的反面不成立。凡是有“至少”“唯一”或含有其它否定词的命题�适宜用反证法。判别式法的基本思想方法是找出与不等式相应的二次函数�结合二次函数的图象性质�利用判别式�就可解决比较复杂和有一定难度的不等式的证明�此法常用于含有多个字母的多项式组成的不等式。换元法常见的有三角换元、均值换元
