全国自考线性代数试题附标准答案详解

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1、全国2011年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，AT表示矩阵的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。聞創沟燴鐺險爱氇谴净。1.设3阶方阵A的行列式为2，则=（B）A.B.C.D.1【解】2.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若,则必有（C）A.B.C.D.【解】A

2、的第1列与第2列交换得到方阵B，，故3.设，则方程的根的个数为（B）A.0B.1C.2D.3【解】解得，唯一解.【注】行列式即可以做行变换，也可以做列变换.4.设A为n阶方阵，则下列结论中不正确的是（C）A.ATA是对称矩阵B.AAT是对称矩阵C.E+AT是对称矩阵D.A+AT是对称矩阵【解】对称矩阵：关于主对角线对称的矩阵，以2阶方阵为例：AATATAA+AT均为对称矩阵5.设，其中,则矩阵A的秩为（B）A.0B.1C.2D.3【解】，非零行的个数为1，故秩是1.6.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵的秩为（A）A.0B.2C.3D.46/6【解】，

3、其中是的各元素的代数余子式A是6阶的方阵，则是5阶行列式，又A的秩为4，则=0，不是满秩的方阵行列式均为零。故是零矩阵，规定零矩阵的秩为零。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k，6）正交，则数k为（D）A.-10B.-4C.4D.10【解】正交矩阵：（或）正交向量：，即，，解得8.设3阶方阵A的特征多项式为，则=（A）A.-18B.-6C.6D.18【解】解得特征根.9.已知线性方程组无解，则数a=(D)A.B.0C.D.1【注】定理1元线性方程组(1)有解的充分必要条件是；若,则有唯一解；　　　　　　　　若,则有无穷多组解

4、．（2）无解的充分必要条件是【解】，无解的充分必要条件是，只有.10.设二次型正定，则数a的取值应满足（C）A.a＞9B.3≤a≤9C.-3＜a＜3D.a≤-3【注】形如为二次型定义：则称该二次型为正定二次型；正定二次型判定：为正定二次型的充分必要条件是.【解】解得，，-3＜a＜3.二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6/611.设行列式，其第3行各元素的代数余子式之和为___0__.【解】则，.12.设则.【解】13设线性无关的向量组…，可由向量组…线性表示，则r与s的关系为.【注

5、】向量组线性相关性的判定定理1（充要条件）向量组线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。定理2（充要条件）1.向量组线性相关矩阵的秩；2.向量组线性无关矩阵的秩。推论1维向量组线性相关的充分必要条件是；维向量组线性无关的充分必要条件是．推论2当时,必有维向量组线性相关．定理3向量组,向量组．若线性无关,且可由线性表示,则．判定线性相关性的重要结论：1.向量组线性无关，而向量组，线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。2.部分组线性相关则整体组线性相关；整体组线性无关则任意部分组线性无关.3.线性无关的向量组的每个向量都添加m个分量后仍线

6、性无关。4.含零向量的向量组必线性相关．5.如果向量组，…，可由向量组，…，线性表示，且，则，…，线性相关.（多数向量可由少数向量线性表示，多数向量必线性相关.）6.向量组线性无关，而向量组，线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一。14.设A是4×3矩阵且，则r(AB)=__2_______.【解】做行变换可知，，方阵满秩，可逆.乘上可逆矩阵不影响矩阵的秩，r(AB)=【注】秩的性质：1.2.3.4.5.为阶方阵，6.若、可逆，则7.8.15.已知向量组的秩为2，则数t=.【解】向量组秩为2，所以行阶梯形非零行个数应为2，故16.设4元线性方程组Ax=b

7、的三个解为α1，α2，α3，已知α1=(1,2,3,4)T,α2+α3=（3，5，7，9）T，r(A)=3.则方程组的通解是为任意常数.【解】r(A)=3，Ax=0的基础解系所含解向量个数是1个。基础解系通解为为任意常数6/617.设方程组有非零解，且数λ＜0，则.定理n元齐次线性方程组(1)有非零解（无穷多解）的充分必要条件；(2)只有零解的充分必要条件.【解】有非零解（无穷多解）的充分必要条件；故，又λ＜0，所以.18.设矩阵有一个特征值，对应的特征向量为，则数a=____2______.【解】19.设3阶方阵A的秩为2，且,则A的全部特征值为___

8、_________.【解】A的秩为2，说明特征根有一个为零，，解得两个根，3阶说