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《matlab课件第八章线性代数基础》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第八章线性代数基础1.矩阵的重要运算1.1方阵的行列式方阵的行列式的值由det函数计算得出；【例1】计算矩阵A=[122;235;457]的行列式的值。>>A=[122;235;457];det(A)ans=4【例2】计算矩阵A=[ab;cd]的行列式的值。>>symsabcd;A=[ab;cd],det(A)A=[a,b][c,d]ans=a*d-b*c1.2矩阵的秩矩阵的秩由rank函数来计算。【例3】计算矩阵A=[122;235;457]的秩。>>rank(A)ans=31.3矩阵的维数和长度size(
2、)%求矩阵的维数(columns&rows)。length()%求矩阵的长度，矩阵的长度用向量(或columns)数定义。表示的是矩阵的列数和行数中的最大数。【例4】>>a=[10,20,42;34,20,4;198,34,6;102030];>>size(a)ans=43>>length(a)ans=4注意size(a)与length(a)两者之间的区别。1.4矩阵的迹矩阵的迹定义为该矩阵对角线上的各元素之和，也等于该矩阵的特征值之和。Matlab调用格式为：trace();【例5】求矩阵A=[1230;2
3、203;3211]的迹>>A=[1230;2203;3211];trace(A)ans=321.5转置运算在MATLAB中，矩阵转置运算的表达式和线性代数一样，即对于矩阵Ａ，其转置矩阵的MATLAB表达式为A’或transpose(A)。但应该注意，在MATLAB中，有几种类似于转置运算的矩阵元素变换运算是线性代数中没有的，他们是：fliplr(A)将A左右翻转；flipud(A)将A上下翻转；rot90(A)将A逆时针方向旋转90。【例6】求矩阵A=[1230;2203;3211]的转置矩阵>>A=[123
4、0;2203;3211],B=A'A=123022033211B=123220230311>>transpose(A)ans=123220230311>>rot90(A)ans=3031122021231.6逆矩阵运算矩阵的逆运算是矩阵运算中很重要的一种运算。它在线性代数及计算方法中都有很多的论述，而在MATLAB中，众多的复杂理论只变成了一个简单的命令inv()。【例7】求矩阵A=[12;34]的逆矩阵。>>A=[12;34],invA=inv(A),A*invAA=1234invA=-2.00001.00
5、001.5000-0.5000ans=1.000000.00001.0000从ans变量的结果可以看出，A的逆矩阵没有求错。在线性代数教材中，通常采用初等行变换的方式来求解矩阵的逆。这样的方法可以用以下方法可以实现：>>A=[12;34],n=size(A);A1=[A,eye(n)];A2=rref(A1);invA=A2(:,1+n(1):end)A=1234invA=-2.00001.00001.5000-0.5000【例8】求矩阵A=[ab;cd]的逆矩阵。>>symsabcd;A=[ab;cd];i
6、nvA=inv(A)invA=[d/(a*d-b*c),-b/(a*d-b*c)][-c/(a*d-b*c),a/(a*d-b*c)]1.7广义逆矩阵由线代知识知道，如果矩阵奇异，则逆矩阵不存在，另外，长方形的矩阵有时也会涉及到求逆的问题，这样就需要定义一种新的“逆矩阵”。对于矩阵A,如果存在一个矩阵N，满足ANA=A,则N矩阵称为A的广义逆矩阵，记作，如果A是一个n×m的长方形矩阵，则N为m×n阶的矩阵。满足这样的广义逆矩阵有无穷多个。可以证明，对于一个给定的矩阵A，存在一个唯一的矩阵M使得下面的3个条件同
7、时成立：1）AMA=A2)MAM=M3)AM与MA均为对称矩阵这样的矩阵Ｍ称为矩阵Ａ的Ｍoore-Penrose广义逆矩阵，记作。MATLAB提供了求取矩阵Ｍoore-Penrose广义逆矩阵的函数pinv(),其格式为：M=pinv(A)%按默认精度求取Ｍoore-Penrose广义逆矩阵M=pinv(A，e)%按指定精度e求取Ｍoore-Penrose广义逆矩阵其中，e为判0用误差限，如果省略此参数，则判0用误差限选用机器的精度eps.如果A是非奇异方阵，则该函数得出的结果就是矩阵的逆矩阵，但这样求解的速
8、度将明显慢于函数inv().【例9】求奇异矩阵A=[12;36]的广义逆矩阵>>pinv(A);M=pinv(A),A*M*A,M*A*M,A*M,M*AM=0.02000.06000.04000.1200ans=1.00002.00003.00006.0000ans=0.02000.06000.04000.1200ans=0.10000.30000.30000.9000ans=0.20000.40
