三角多项式逼近与多项式逼近

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1、闭区间上连续函数的Weierstrass三角多项式逼近与多项式逼近一、按下面的步骤探索闭区间上连续函数的Weierstrass三角多项式逼近1、三角多项式函数形如，的函数称为以为周期的三角多项式函数；形如，的函数称为以为周期的三角多项式函数。2、傅里叶级数的一致收敛性设是以为周期的连续函数（或是上的连续函数，且），且在上按段光滑，则的傅里叶级数，在（或）上一致收敛于，其中，，，，（）。提示：首先，导出与的傅里叶系数的如下关系：记，，（）为的傅里叶系数，则注意到可得，，，。其次，注意到，，，以及贝塞

2、尔不等式，推出收敛。最后，利用傅里叶级数的收敛定理和优级数判别法可得，的傅里叶级数，在上一致收敛于。3、以为周期的连续函数的三角多项式逼近设是以为周期的连续函数，则对任意，存在以为周期的三角多项式函数，使得，对任意，有。提示：由周期函数的特点，只须在探索上述结论；首先，注意到在上连续，可得在上一致连续，且，从而导出：对任意，存在上连续的折线函数，使得，，且；其次，利用傅里叶级数的一致收敛性，导出：存在三角多项式，使得，对一切，。综上所述，。4、上连续函数的三角多项式逼近设是上的连续函数，则对任意，

3、存在以为周期的三角多项式函数，使得，对任意，有。提示：先将函数延拓成上的连续的偶函数；再将延拓成以为周期的连续的偶函数；最后，利用2的结论。5、闭区间上连续函数的三角多项式逼近设是上的连续函数，则对任意，存在以为周期的三角多项式函数，使得，对任意，有。提示：首先，令，可得是的连续函数；然后，利用3的结论。二、利用“一”中得到的结论探索闭区间上连续函数的多项式逼近设是上的连续函数，则对任意，存在多项式函数，使得，对任意，有。提示：首先，利用“一”中第4步的结论推出，对任意，存在三角多项式函数，使得，

4、对任意，有；其次，对用泰勒定理，并注意到幂级数的内闭一致收敛性：“在处的泰勒级数在上一致收敛”（注意：易见，在处的泰勒级数的收敛半径为，因此，它的收敛域为）推出任意，存在多项式函数，使得，对任意，有；最后，综合上面的结论即可。