多项式插值和三次样条插值

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1、已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量,用多项式插值和三次样条插值的方法，画出每隔一年的插值曲线的图形,试计算并比较在不同方法下的2005年以及2015年的产量。年份190019101920193019401950产量75.99591.972105.711123.203131.699150.697年份196019701980199020002010产量179.323203.212226.505251.525291.854325.433思想算法：多项式插值采用牛顿多项式插值法，该算法可以克服多项式插值和拉格朗日插值法的缺点，即：当用已知的

2、n+1个数据点求出插值多项式后，又获得了新的数据点，要用它连同原有的n+1个数据点一起求出插值多项式，从原已计算出的n次插值多项式计算出新的n+1次插值多项式是很困难的，必须全部重新计算。而牛顿插值法可以克服这一缺点。三次样条插值不仅在节点增多使子区间减少时，误差随之减少，也使曲线具有足够的光滑性。Matlab程序如下程序一：牛顿插值法源程序名称Newton.mclearall;x=0:10:110;y=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,25

3、1.525,291.854,325.433];n=length(x);symst;fork=2:nfori=n:-1:ky(i)=(y(i)-y(i-1))/(x(i)-x(i-k+1));end;end;N=y(1);fori=2:nW=1;forj=1:(i-1)W=W*(t-x(j));end;N=N+y(i)*W;end;N=expand(N);ezplot(N,[0,120]);holdon;formatshort;Q=[];fori=0:120Q(i+1)=subs(N,t,i);end;T=0:120;plot(T,Q,'^');ti

4、tle('产量随时间变化曲线');xlabel('T/时间');ylabel('Q/产量');N105=subs(N,t,105);N115=subs(N,t,115);程序二：三次样条插值源程序名称SPLINEM.mclearall;x=0:10:110;y=[75.995,91.972,105.711,123.203,131.699,150.697,179.323,203.212,226.505,251.525,291.854,325.433];n=length(x);symst;fori=1:np(i)=y(i);end;fork=2:3fo

5、ri=n:-1:kp(i)=(p(i)-p(i-1))/(x(i)-x(i+1-k));end;end;h(2)=x(2)-x(1);fori=2:(n-1)h(i+1)=x(i+1)-x(i);c(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1));a(i)=1-c(i);b(i)=2;p(i)=6*p(i+1);end;p(1)=0;p(n)=0;c(1)=0;b(1)=2;b(n)=2;a(n)=0;u(1)=b(1);z(1)=p(1);fork=2:nl(k)=a(k)/u(k-1);u(k)=b(k)-l(k)*c(k-1);z(k)=p(

6、k)-l(k)*z(k-1);end;M(n)=z(n)/u(n);fork=(n-1):-1:1M(k)=(z(k)-c(k)*M(k+1))/u(k);end;fori=2:nS(i)=M(i-1)*(x(i)-t)^3/(6*h(i))+M(i)*(t-x(i-1))^3/(6*h(i))+(y(i-1)-M(i-1)*h(i)^2/6)*(x(i)-t)/h(i)+(y(i)-M(i)*h(i)^2/6)*(t-x(i-1))/h(i);p=0;fork=((i-2)*10+1):((i-1)*10)Q(k)=subs(S(i),t,x(i

7、-1)+p);p=p+1;end;ezplot(S(i),[x(i-1),x(i)]);holdon;end;ezplot(S(12),[110,120]);holdon;fork=111:121Q(k)=subs(S(12),t,k-1);end;T=0:120;plot(T,Q,'^');axis([0,120,0,400]);title('产量随时间变化曲线');xlabel('T/时间');ylabel('Q/产量');S105=subs(S(12),t,105);S115=subs(S(12),t,115);运行结果：程序一：程序输入N1

8、05和N115得2005年产量N105=332.2477；2015年产量N115=-17.8236；程序二：程序输入S10