最大公约数与最小公倍数的推广

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1、课题最大公约数与最小公倍数重点、难点余数问题教学内容最大公约数与最小公倍数　　这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。　　在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法　　可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么　　（18，12）×[18，12]　　=（2×3）×（2×3×3×2）　　=（2×3×3）×（2×3×2）　　=18×12。　　也就是说，18与12的最大公约数与最小公

2、倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：　　两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，　　（a，b）×[a，b]=a×b。　　例1两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。　　解：由上面的结论，另一个自然数是（6×72）÷18=24。　　例2两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。　　分析与解：如果将两个自然数都除以7，

3、则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”杭州学勤教育咨询有限公司　　改变以后的两个数的乘积是1×30=30，和是11。　　30=1×30=2×15=3×10=5×6，　　由上式知，两个因数的和是11的只有5×6，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是　　7×5=35和7×6=42。　　例3已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。　　分析与解：因为12，15都是a的约数

4、，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12，15]=60的倍数。再由[a，b，c]=120知，a只能是60或120。[a，c]=15，说明c没有质因数2，又因为[a，b，c]=120=23×3×5，所以c=15。　　因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，[a，b]=120，求a，b。”　　当a=60时，　　b=（a，b）×[a，b]÷a　　=12×120÷60=24；　　当a=120时，　　b=（a，b）×[a，b]÷a　　=12×120÷120=12。　

5、　所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。　　要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？　　分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。为此，先求几个分母的最小公倍数，[6，4，9]=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，　　（150，135，80）=5。　　上式说明，若三种

6、溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装杭州学勤教育咨询有限公司　　在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。　　如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。　　由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：　　（1）先将各个分数化为假分数；　　（2）求出各个分数的分母的最小公倍数

7、a；　　（3）求出各个分数的分子的最大公约数b；　　　　类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。　　如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。　　求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数b　一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？杭州学勤教育咨询有限公司　　同理，黄鼠

8、狼掉进陷井时与起点的距离为　　　所以黄鼠狼掉进陷井时跳了311/2÷63/10=5（次）。　　黄鼠狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了　　　练习1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：　　4.求下列各组分数的最小公倍数：部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？