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1、第九章用MATLAB求二元泰勒展开式1级数求和命令S=symsum(u,t,a,b)的功能是计算级数和S=。其中u是包含符号变量t的表达式，是待求和级数的通项。当u的表达式中只含一个变量时，参数t可省略。例9.11.1判断下列级数是否收敛，如收敛则求其和：，，解创建符号变量n和x,用symsum命令计算各级数的和：symsnx↙symsum(1/n,1,inf)↙ans=inf知级数发散至无穷大。symsum(1/n^2,1,inf)↙ans=1/6*pi^2知级数收敛，且其和为对级数，由于其通项中包含两
2、个变量x和n，故使用symsum命令时须指定求和变量是n：un=x^2/(1+x^2)^n;↙symsun(un,n,0,inf)↙ans=1+x^2得和函数为1+x^2对有些级数，symsum命令不能求得其和，从而也无法得知其敛散性。此时，可使用MATLAB的数值计算功能进行处理。例9.11.2试求级数的和解用symsum命令求解：symsn↙symsum(log(1+1/n^2),1,inf)↙ans=sum(log(1+1/n^2),n=1..inf)此结果表示symsum命令不能求得其和。我们转而
3、采用数值方法计算部分和。将下面的程序存入一个m文件中：clearalln=9000;%部分和的项数Sn=0;fork=1:nSn=Sn+log(1+1/k^2);endfprintf(‘Sn=%f,(n=%d)’,Sn,n)执行该程序，显示结果为Sn=1.301735，（n=9000）再对程序中的变量n分别赋值n=9000，n=900000，n=9000000并执行程序，得计算结果为：Sn=1.301835，（n=9000）Sn=1.301845，（n=900000）Sn=1.301846，（n=9000
4、000）由此看出，随着n增大，Sn趋于1.30185。故知该级数收敛，且其和约为1.301852．泰勒级数展开泰勒级数展开命令是taylor,其调用格式为r=taylor(f,n,x,a).该命令的功能是将符号函数f展开成（x-a）的n-1阶泰勒多项式。其中x是待展开的符号变量，其缺省值为最接近x的字母。n的缺省值为n=6,a的缺省值为a=0。例9.11.3将分别展开为x和x-1的幂级数。解首先创建符号变量x及函数f：symsx↙f=x/sqrt(1+x^2);↙计算关于x展式的前8项：taylor(f,
5、8)ans=x-1/2*x^3+3/8*x^5-5/16*x^7计算关于x-1展式的前3项：taylor(f,3,x,1)↙ans=1/2*2^(1/2)+1/4*2^(1/2)*(x-1)-16/3*2^(1/2)*(x-1)/2即。3．傅里叶级数展开到目前为止，MATLAB中还没有专门计算傅里叶展开式的命令。但根据尤拉-傅里叶公式,用int命令很容易算出傅里叶级数的系数：symsnxa0=int(f,-pi,pi)/pian=int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pibn=int(f*sin(
6、n*x),-pi,pi)/pi其中f为含符号变量x的待展开函数。类似可得，对周期为2l的函数，计算其傅里叶系数的命令为a0=int(f,-l,l)/lan=int(f*cos(n*pi*x/l),-l,l)/lbn=int(f*sin(n*pi*x/l),-l,l)/l.例9.11.4用MATLAB求的傅里叶展开式。解symsknx↙a0=int(k,x,0,2)↙a0=kan=int(k*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2↙an=sin(n*pi)*k/n/pibn=int(k*sin(n*p
7、i*x/2),x,0,2)/2↙bn=-k*(cos(n*pi)-1)/n/pi注意MATLAB不能把sin（n*pi）化为0，也不能把cos（n*pi）化为(-1)例9.11.5本例中的程序演示了用正弦波迭加逼近方波的过程。取例9.11.4中所得傅里叶级数的前m项作和，记为这是m个正弦波的合成波。执行下面程序可观察到，随着m逐渐增大，的波形逐渐逼近f(x)（周期性延拓后）的波形，图1与图2分别是该程序执行中当m=3和m=6时的快照m=40;k=1;symsxholdonSm=k/2;forn=1:mfn
8、=2*k*sin((2*n-1)*pi*x/2)/(2*n-1)/pi;Sm=Sm+fn;clfsubplot(2,1,1)ezplot(fn,[-6,6])subplot(2,1,2)ezplot(Sm,[-6,6])ifn<6pauseelsepause(5/n)endend图1图2
