武汉大学线性代数考试(工科学时)

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1、武汉大学数学与统计学院2005－2006学年第一学期《线性代数》A卷（供工科54学时用）学院专业学号姓名注所有答题均须有详细过程，内容必须写在答题纸上，凡写在其它地方一律无效.一、计算题（每题5分，6题共30分）：1．设，当，计算.2．设二阶方阵A满足方程，求A所有可能的特征值.3．求二次型的秩.4．已知阶矩阵，且非奇异，求.5．设A是三阶实对称矩阵，其对应的二次型的正负惯性指数均为1，且满足，计算.6.设阶向量，矩阵,且，求实数.二、解答题（3题共45分，每题15分）1．设，且，满足，求和.2．已知,,就方程组无

2、解、有唯一解、有无穷多解诸情形，对值进行讨论，并在有无穷多解时，求出其通解.3、设二次型,(1).求出二次型的矩阵的全部特征值;(2).求可逆矩阵，使成为对角阵;(3).计算(m是正整数).三、证明题和讨论题（2题共25分）：1.（10分）设是阶实方阵，(1).当为奇数且及时,证明：.(2).当m为给定任意正整数且时,证明：A可逆.2.（15分）对线性空间中的向量组：和：,讨论下面的问题：(1).向量组是否能成为中的基？能否用线性表示？如果可以，试求出由到的过渡矩阵,其中；，且为实数.(2).若是非零实数，（a）给

3、出向量组线性无关的一个充要条件，并证明之；（b）给出矩阵为正交阵的一个充要条件，并证明之.（2005－2006上工科54学时）线性代数A卷参考解答一、计算题：1、；2、；3、2；4、；5、－10；6、－1.二、解答题：1、解：由初等变换求得＝1，（记，下同），由，因此可逆，且2、解：经计算,因此方程组有唯一解.时，对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，即时无解.时，同样对增广矩阵作行变换化为阶梯形:因，所以时有无穷多解.等价方程组为:令，得通解为：3、解：1)二次型的矩阵为A＝;

4、E-A

5、＝=(+1)(－2)所以A的全

6、部特征值为：＝－1,＝＝2对=—1,解(－E－A)X＝0得基础解系为＝(1,1,1)；对＝＝2,解(2E—A)X＝0得基础解系为＝(—1,1,0),＝(—1,0,1).2).令P＝＝，即为所求可逆阵，此时AP＝＝.3).三、证明题和讨论题1、证明：1），所以.2）由，其中均为组合系数.得,从而即可逆.(另证:设为A的任意一个特征值，X为对应的特征向量，则AX=X，注意EX=X,两式相加(A+E)X=(+1)X,两边左乘矩阵A+E，得(A+E)X=(+1)(A+E)X=(+1)X.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。重复该过程可得

7、(A+E)X=(+1)X,而(A+E)=0，且X0，所以有(+1)=0故A的任一个特征值都为－1，由

8、

9、==,可逆.)2、解：设,,1），，易知时,能成为中的基.即有,且,令，故能用线性表示.由初等行变换求得，则所求过渡矩阵为.2)由题设，其中，且.如果，即线性无关，则有，得线性无关；反之如果线性无关，则由，得到.可见,线性无关是线性无关的一个充分必要条件.如果是正交阵,即,则,可见时.是正交阵.反之是正交阵时,,即,可见时,是正交阵.综上,为正交阵的一个充要条件是且为正交阵.