线性代数作业()

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1、习题二十特征值与特征向量相似矩阵一、填空题：1．阶方阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关；若是阶方阵的个特征值，则，.2．已知三阶矩阵的三个特征值分别为，则6，2/9.3．设为阶方阵，有非零解，则必有一特征值为0.4．假设阶矩阵的任意一行中个元素之和都为，则有一特征值为，对应于此特征值的一个特征向量是.5．若是可逆阵的一个特征值，则有一特征值为.6．已知向量是矩阵的一个特征向量，则-2，1.二、求下列矩阵的特征值和特征向量：1．2．解：，解：因此，.因此当时，解方程组，当时，解方程组故属于的特征向量为

2、.故属于的特征向量为.当时，解方程组，当时，解方程组65故属于的特征向量为.故属于的特征向量为，其中不全为零.三、设方阵与相似，求.解：因为与相似，所以，从而，，即，所以.四、设三阶方阵的特征值为，，，对应的特征向量依次为，，，求.解：令，则，所以，=.五、设是阶阵的特征值，，分别是的属于的特征向量，证明：不是的特征向量.65证明：用反证法.若是的属于某特征值的特征向量，则，（1）由于分别是的属于的特征向量，所以，（2）由（1）、（2）可得：，所以，因为，所以线性无关，因此.矛盾.六、设是阶方阵，证明：

3、与有相同的特征值.证明：下证当是的特征值时也是的特征值，反之亦然.当时，===.当时，.所以，与有相同的特征多项式，从而有相同的特征值.七、证明：1）如果可逆，则与相似.2）如果可逆，，则.3）如果与相似，与相似，则与相似.证明：1）因为可逆，所以所以与相似.652）因为可逆，，所以，所以可逆.存在可逆矩阵，使得，两边取逆从而有，即，亦即，所以.3）如果与相似，与相似，则分别存在可逆矩阵使得，令，则，从而=.因此与相似.八、设为两个阶矩阵，且的个特征值两两互异，若的特征向量恒为的特征向量，则.证明：因为

4、的个特征值两两互异，所以可对角化，设的分别属于的特征向量（它们是线性无关的），令，又因为的特征向量恒为的特征向量，所以也有个线性无关的特征向量，从而可对角化.设则.因此，=.所以，.习题二十一特征值与特征向量相似矩阵（续）姓名学号班级一、填空题：1．若矩阵与相似，则与的特征值相同；阶矩阵与对角阵相似的充要条件是有个线性无关的特征向量.652．设是矩阵的一个特征值，是的对应于的一个特征向量，是矩阵的一个多项式矩阵，则的特征值是，其相应的一个特征向量是.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。3．已知是的逆矩阵的特征向量，则

5、1，-2.4．设是阶方阵，的个特征值分别为，则！！.二、已知是矩阵的一个特征向量.1）试确定系数及特征向量所对应的特征值.1）问在实数范围内能否相似于对角阵？说明理由.解：1）设是的对应于特征值的特征向量，则所以，，从而.2）上述特征方程在实数范围内只有一个解因此在实数范围内不能相似于对角阵.三、判断下列矩阵是否与对角阵相似，如果相似，求出相似变换矩阵，使得为对角阵：1．；65解：由知的特征值为当时，解方程组，是的属于的线性无关的特征向量，当时，解方程组，是的属于的线性无关的特征向量，由于只有两个线性无

6、关的特征向量，所以不可与对角阵相似.2．.解：由知的特征值为当时，解方程组，是的属于的线性无关的特征向量，当时，解方程组，是的属于的两个线性无关的特征向量.所以，可与对角阵相似.令则有.四、设矩阵与矩阵相似，其中，.1）求和的值；2）求可逆矩阵，使得.65解：1）因为矩阵与矩阵相似，所以有相同的特征值、迹.由于，所以有特征值-2，注意到的特征值为所以.又由可得：，.2）当时解方程组可得是的属于特征值的特征向量.类似可得是的属于特征值的特征向量.是的属于特征值的特征向量.令，则有.聞創沟燴鐺險爱氇谴净。五

7、、设，求1）的所有特征值与特征向量；2）判断能否对角化，若能对角化，则求出相似变换矩阵，使化为对角形矩阵.3）计算.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。解：1）由知的三个特征值分别为，当时，解方程组可得是的属于特征值的所有特征向量（.类似可得是的属于特征值的所有特征向量.是的属于特征值的所有特征向量.酽锕极額閉镇桧猪訣锥。2）由1）知有三个不同的特征值，因此可对角化.令，则；3）由2），.注：由1）知，是（也是）的属于特征值1的特征向量.65六、设矩阵有三个线性无关的特征向量，则和应满足什么条件？解：由可知，的特征值

8、为.此时矩阵可对角化，因此，对应于二重特征值1，应有两个线性无关的特征向量.从而.，所以，.七、设阶方阵满足，证明：相似于一个对角矩阵.证明：设为的任一特征值，由于，所以.所以，的特征值为1或2.因为，所以.又因为.所以，.设对于，由故有个属于1的线性无关的特征向量；对于，由故有个属于1的线性无关的特征向量；所以，有个线性无关的特征向量，故可相似于对角阵.习题二十二实对称矩阵的性质及其标准型姓名学号班级一、填空题：1．实对称矩阵的特征值一定