考研数学二真题附标准答案解析

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1、2007年考研数学二真题解析一．选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1）当时，与等价的无穷小量是（B）A.B.C.D.（2）函数在区间上的第一类间断点是(A)A.0B.1C.D.（3）如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C）矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。.(4)设函数f（x）在x=0处连续，下列命题错误的是(C)A.若存在，则B.若存在,C.若存在,则D.存在,（5）曲线渐近线的

2、条数为（D）0123(6)设函数在上具有二阶导数，且,令=则下列结论正确的是(D)聞創沟燴鐺險爱氇谴净。A.若，则必收敛B.若，则必发散C.若，则必收敛D.若，则必发散（7）二元函数在点（0，0）处可微的一个充分条件是（B）A.B.，且C.D.且（8）设函数连续，则二次积分等于（B）（9）设向量组线形无关，则下列向量组线形相关的是：(A)（A）（B）（C）（D）（10）设矩阵A=，B=,则A于B，（B）(A)合同，且相似(B)合同，但不相似(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题

3、纸指定位置上.曲线上对应于的点处的法线斜率为（）.设函数，则＝.二阶常系数非齐次线性微分方程的通解y＝_.设是二元可微函数，,则.设矩阵，则的秩为_1______.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。（17）设是区间上单调、可导函数，且满足，其中是的反函数，求.【详解】：设则.则原式可化为：等式两边同时求导得：（18）（本题满分11分）设D是位于曲线下方、轴上方的无界区域.（Ⅰ）求区域D绕轴旋转一周所成旋转体的体积；（Ⅱ）当为何值时，最小？并求此最小值.

4、【详解】：得故即是唯一驻点，也是最小值点，最小值（19）求微分方程满足初始条件的特解.【详解】：设，则代入得：设则即由于故即由或特解为或（20）已知函数具有二阶导数，且＝1，函数由方程所确定.设求，.【详解】：两边对求导得得（当故有（本题11分）设函数在上连续，在内具有二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在使得.【详解】：证明：设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在由罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即.（22）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其

5、中【详解】：D如图（1）所示，它关于x,y轴对称，对x,y均为偶函数，得，其中是D的第一象限部分.22xyx1212y(1)(2)由于被积函数分块表示，将分成（如图（2））：,且于是.而所以得（本题满分11分）设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即矩阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：酽锕极額閉镇桧猪訣锥。当时，方程组(3)的系数矩阵为此时方程组

6、(3)的解为，即公共解为：(24)设3阶对称矩阵A的特征向量值是A的属于的一个特征向量,记其中为3阶单位矩阵验证是矩阵的特征向量,并求的全部特征值的特征向量；求矩阵.【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证，于是于是是矩阵B的特征向量.B的特征值可以由A的特征值以及B与A的关系得到，即，所以B的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得为B的属于－2的特征值，而A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B的属于1的特征向量为，所以有方程如下：彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。于是求得B的属于1的特征向量为（Ⅱ）令矩阵

7、，则，所以