数值研究课件解线性方程组的直接法

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1、第五章线性代数方程组的数值解法线性方程求解问题是科学研究和工程计算中最常见的问题。如电学中的网络问题、工程力学中求解连续力学体（微分方程）问题的差分方法、有限元法、边界元法及函数的样条插值、最小二乘拟合等，都包含了解线性方程组问题。因此，线性方程组的解法在数值计算中占有极其重要的地位。对于阶线性方程组，若，则方程组有惟一解。由克莱姆（Cramer）法则，其解为,其中为用向量代替中第列向量所得矩阵。每个阶行列式共有项，每项都有个因子，所以计算一个阶行列式需做次乘法，我们共需要计算个行列式，要计算出，还要做次除法，因此用Cramer法则求解要做次乘除法（不计加减法），计算量

2、十分惊人。如时，就需作约次乘法。可见Cramer法则在理论上是绝对正确的，但当70/70较大时，在实际计算中却是不可行的。因此寻求有效的数值计算方法就成为非常必要的课题。线性方程组的类型很多，若按其系数矩阵阶数的高低和含零元素多少，大致可分为两类：一类是低阶稠密线性方程组，即系数矩阵阶数不高，含零元素很少。另一类是高阶稀疏线性方程组，即系数矩阵阶数高，零元素占绝对优势（比如占以上）。线性方程组的数值解法也可分为两大类：直接法和迭代法。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步运算可以得到方程组精确解的方法。但是，在实际计算时，由于初始数据变为机器数而产生的误差以及计算过

3、程中所产生的舍入误差等都要对解的精确度产生影响，因此直接法实际上也只能算出方程真解的近似值。常用的有效算法是Gauss消去法和矩阵的三角分解法。迭代法是用某种极限过程去逼近准确解的方法。如对任意给定的初始近似解向量，按照某种方法逐步生成近似解序列使极限70/70为方程组的解。因为在实际计算时，只能做到有限步，所以得到的也是近似解。常用的迭代法主要有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法、逐次超松弛法及共轭斜量法等。直接法的优点是运算次数固定，并且可以事先估计。它的缺点是通常需要存储系数矩阵和常数项的所有元素，因而所需存贮单元较多，编写程序较复杂，一般适用于求

4、解低阶线性方程组；迭代法的优点是原始系数矩阵始终不变，且只需存储原方程组系数矩阵中的非零元素，因而算法简单，编写程序较方便，且所需存贮单元也较少，所以被广泛用于求解高阶稀疏线性方程组。缺点是存在收敛性和收敛速度问题，因而只能对具有某些性质的方程组才适用。1消元法1.1三角方程组的解法形如(1.1)的方程组称为上三角形方程组。写成矩阵形式70/70简写为。若，则(1.1)有惟一解我们称求解上三角方程组(1.1)的过程为回代过程。同时也看到求解这类方程组是件容易的事，所以对一般形式的方程组，应设法将它化为(1.1)式的形式，然后再求解。1.2Gauss消去法考虑方程组(1.

5、2)其矩阵形式为其中70/70化线性方程组(1.2)为等价的三角形方程组的方法有多种，由此导出不同的直接方法，其中Gauss消去法是最基本的一种方法。Gauss消去法分消元计算和回代求解两个过程。为后面的符号统一起见，记方程组(1.2)为其中。消元计算第一步：就是要将的第一列主对角元以下的元素全约化为0。设，计算用乘(1.2)的第1个方程，加到第个方程上，完成第一步消元，得(1.2)的同解方程组(1.3)简记为70/70其中的元素的计算公式为假设前步消元完成后，得(1.2)的同解方程组为(1.4)简记为。第步：就是要将的第列主对角元以下的元素全约化为0。设，计算用乘(1

6、.4)的第个方程加到第个方程上，完成第步消元。得同解方程组其中元素的计算公式为70/70继续上述过程，完成步消元后，(1.2)化成同解的上三角方程组(1.5)简记为。回代求解因，故，于是(1.6)Gauss消去步骤能顺利进行的条件是，，现在的问题是矩阵应具有什么性质，才能保证此条件成立。若用表示的顺序主子式，即有下面定理定理1约化的主元素70/70的充要条件是矩阵的顺序主子式。证明必要性。因主元素，可进行步消元，每步消元过程不改变顺序主子式的值，于是必要性得证。用归纳法证明充分性。时命题显然成立。假设命题对成立。设。由归纳法假设有，Gauss消去法可以进行步，约化为其中

7、是对角元为的上三角阵。因是通过步消去法得到的，每步消元过程不改变顺序主子式的值，所以的阶顺序主子式等于的，即由知，充分性得证。1.3Gauss消去法的计算量70/701）消元过程的工作量第步消元过程：计算乘子需作次除法运算；第行乘加到第行，需要乘法和减法各次（第列元素无需计算），共行（），所以需要乘法次，故消元过程中的乘、除和减法运算量为乘除法次数：加减法次数：2）回代过程的工作量计算需要次乘除法和次加减法运算，整个回代过程的运算量为：乘除法：减法：所以Gauss消去法的总运算量为乘除法：70/70（当较大时）加减法：（当较大时）当时，用